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广东省2014届高三 （八）数学一、选择题#NO.#若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为( )A2B2C4D4#NO.#过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条B2条C3条D4条#NO.#在焦点分别为的双曲线上有一点P，若F1PF2=，|PF2|=2|PF1|，则该双曲线的离心率等于（）A2BC3D#NO.#已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为( ) Ks5uABCD#NO.#已知椭圆的长轴长为10，离心率，则椭圆的方程是（ ）A或B或C或D或#NO.#抛物线截直线所得的弦长等于#NO.#如果方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是(）ABCD#NO.#已知双曲线，则它的渐近线的方程为（ ）ABCD二、填空题#NO.#双曲线的右焦点到它的渐近线的距离为 。#NO.#已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆C的方程为_ #NO.#抛物线的准线方程是 .#NO.#椭圆中，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，焦点到相应准线的距离也为，则该椭圆的离心率为 Ks5u#NO.#设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则点到该抛物线准线的距离为.#NO.#已知点是抛物线上的动点，是抛物线的焦点，若点，则的最小值是 .三、解答题#NO.#（本小题满分12分） 如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似.已知椭圆与椭圆相似，且椭圆的一个短轴端点是抛物线的焦点.(）试求椭圆的标准方程；(）设椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线与椭圆交于两点，且与椭圆交于两点.若线段与线段的中点重合，试判断椭圆与椭圆是否为相似椭圆？并证明你的判断.#NO.#(14分)设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且.(）求椭圆的离心率；(）D是过三点的圆上的点，D到直线的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆的方程；(）在（）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由. Ks5u#NO.# (本小题满分12分)设A1、A2是双曲线的实轴两个端点，P1P2是双曲线的垂直于轴的弦，(）直线A1P1与A2P2交点P的轨迹的方程；(）过与轴的交点Q作直线与（1）中轨迹交于M、N两点，连接FN、FM，其中F,求证：为定值；#NO.#已知抛物线的顶点在原点,它的准线过的左焦点,而且与轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点,求抛物线和双曲线的方程.#NO.#(12分)在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点.(）求证：命题“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；(）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.#NO.#已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中：(1）求的标准方程；(2）请问是否存在直线同时满足条件：()过的焦点；()与交于不同两点、，且满足.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由广东省2014届高三（八）数学一、选择题 1D【解析】易知椭圆的右焦点为，因为抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，所以。 2C【解析】通过图形可知满足题目要求的直线只能画出3条 3D【解析】在? F1PF2中，由双曲线的定义知|PF2|=4a,|PF1|=2a，所以由余弦定理得：，解得e=. 4D【解析】因为抛物线的焦点为（1,0），所以 Ks5u因为双曲线的离心率等于，所以联立解得：，所以双曲线的方程为。 5A【解析】因为由题意可知椭圆的长轴长为10，离心率，可知2a=10,a=5,同时，那么结合,由于焦点位置不确定，因此可知其方程有两种情况，故可知为或，进而选A. 6D.【解析】由得：，设两交点A()B(),则，所以|AB|。 7D【解析】由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4m0，m30并且m34m，解得：m4故选D 8B Ks5u【解析】因为由题意可知，双曲线，故可知焦点在x轴上，且a=4，b=3,那么由于焦点在x轴上可知其渐近线方程为y= ,故选B二、填空题 91【解析】由双曲线方程，可知右焦点（，0），而渐近线方程为y=,那么利用点到直线的距离公式可知d=,故答案为1. 10【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程的求解。由题意定义可知，椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为12，即2a=12,a=6.因为离心率，因此可知，长轴在x轴上，说明焦点在x轴上，因此椭圆C的方程为，故答案。解决该试题的关键是能利用椭圆的定义得到2a的值，并利用离心率得到c的值，运用a,b,c的关系得到b的值，进而得到椭圆的方程。 11x=1 【解析】。 12【解析】本试题主要是考查了椭圆的离心率的求解的运用。设出椭圆的方程，因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，因为焦点到相应准线的距离为，故解得可知椭圆的离心率为，故答案为。解决该试题的关键是设出方程，然后利用过焦点的垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，得到离心率。 13【解析】因为抛物线的焦点.则AF的中点，所以,因而点B到抛物线准线：的距离为. 14【解析】过P作准线l的垂线PM，垂足为M，则|PF|=|PM|,所以=|PA|+|PM|,过A作AN垂直准线l,垂直为N，则=|PA|+|PM|,显然当点P为AN与抛物线的交点时，取得最小值|AN|=.三、解答题 15（）.（）椭圆与椭圆是相似椭圆.证明见解析。【解析】（）椭圆的离心率为，抛物线的焦点为.设椭圆的方程为，由题意，得：，解得，椭圆的标准方程为 . 4分（）解法一：椭圆与椭圆是相似椭圆. 5分联立和的方程，消去，得，6分设的横坐标分别为，则.设椭圆的方程为， 7分联立方程组，消去，得,设的横坐标分别为，则.弦的中点与弦的中点重合，化简得， 10分求得椭圆的离心率， 12分椭圆与椭圆是相似椭圆.解法二：（参照解法1评分）设椭圆的方程为，.在椭圆上，且，两式相减并恒等变形得.由在椭圆上，仿前述方法可得.弦的中点与弦的中点重合，求得椭圆的离心率，即椭圆与椭圆是相似椭圆. 16（） ；（）.（） 【解析】 (I) B（x0，0）,根据，且,可得,据此可得，所以离心率. Ks5u(II)在（I）的基础上由离心率可知,可用a表示的外接圆圆心和半径，再根据圆心到直线的距离为，建立关于a的方程求出a的值，椭圆方程为.(III)直线方程与椭圆方程联立消y得,下一步解题的关键是把借助韦达定理转化为关于k,m的方程，从而可用k表示m,再利用函数的方法求出m的取值范围.（）设B（x0，0），由（c，0），A（0，b），知 ，由于 即为中点故， 故椭圆的离心率 （）由（1）知得于是（，0）, B，的外接圆圆心为（，0），半径r=|=,D到直线的最大距离等于，所以圆心到直线的距离为，所以，解得=2，c =1，b=，所求椭圆方程为. 8分（）由（2）知, ： 代入得 设，则， 10分由于菱形对角线垂直，则故,则 12分由已知条件知且 故存在满足题意的点P且的取值范围是14分 17（）（ ；（）见解析。【解析】（）利用交轨法来求直线P1A1和P2A2的交点的轨迹方程，先根据已知条件求出A1、A2点的坐标，设P（x0，y0），则N（x0，y0），求出直线PA1和NA2的方程，联立方程，方程组的解为直线PA1和NA2交点的坐标，再把P点坐标（x0，y0）用x，y表示，代入双曲线方程，化简即得轨迹C的方程（）设的方程为，直线MN的方程与曲线C的方程联立消y可得关于x的一元二次方程，解出M，N点横坐标之和与之积代入下式即可证明为定值（）设,则的方程为 的方程为 将，得又在双曲线上，即，代入上式 ，得（ 5分 （）法一：设的方程为，联立，得 消，得则.12分 18.【解析】由抛物线的准线可设抛物线的标准方程，再根据过点,求出p值，得到抛物线方程，得到双曲线的焦点坐标，得到c值，得到a,b的一个方程，再根据双曲线过点,得到另一个a,b的方程，两方程联立解得a,b的值，从而确定双曲线的方程.设抛物线方程为： 将点代入方程得所以抛物线方程为：.准线方程为：，由此知道双曲线方程中：；焦点为点到两焦点距离之差为. 19（1）见解析（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”该命题是假命题. 【解析】 (I)直线方程与抛物线方程联立，消去x后利用韦达定理判断=x1x2+y1y2=的值是否为3，从而确定此命题是否为真命题.(II)根据四种命题之间的关系写出该命题的逆命题，然后再利用直线与抛物线的位置关系知识来判断其真假.证明：（1）解法一：设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于A(3,)、B(3,)，=3.当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x3),其中k0. Ks5u得ky22y6k=0,则y1y2=6. 又x1=y12, x2=y22, =x1x2+y1y2=3. 综上所述, 命题“.”是真命题.解法二：设直线l的方程为my=x3与y2=2x 联立得到y22my6=0 =x1x2+y1y2=(my1+3) (my2+3)+ y1y2=(m2+1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1) (6)+3m2m+93（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,直线AB的方程为y= (x+1),而T(3,0)不在直线AB上. 20（）方程为 （）存在直线满足条件，且的方程为：或【解析】(1) 设抛物线，则有，据此验证个点知.在抛物线上，易求,再设：，把点（2，0）（，）代入得可建立关于a,b的两个方程，求出a,b值，从而得到椭圆方程.（II）由题意可知此直线斜率一定存在，从而可设直线l的方程为,再与椭圆C1的方程联立消y后得关于x的一元二次方程，即，得，然后根据韦达定理可得到关于k的方程，求出k值，从而得到直线l的方程.Ks5u
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