高等数学极限运算法则课件.ppt

1 第一章 二 极限的四则运算法则 三 复合函数的极限运算法则 一 无穷小运算法则 第五节 极限运算法则 2 时 有 一 无穷小运算法则 定理1 有限个无穷小的和还是无穷小 证 考虑两个无穷小的和 设 当 时 有 当 时 有 取 则当 因此 这说明当 时 为无穷小量 3 说明 无限个无穷小之和不一定是无穷小 例如 类似可证 有限个无穷小之和仍为无穷小 4 证 设 又设 即 当 时 有 取 则当 时 就有 故 即 是 时的无穷小 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 5 解 利用定理2可知 例 求 6 定理3 证 1 二 极限的四则运算法则 7 即常数因子可以提到极限符号外面 由无穷小运算法则 得 2 的特例是 8 定理4 那么 如果 9 定理5 证 由定理1 1 由保号性定理 即 故 有 有 10 注意 应用四则运算法则时 要注意条件 参加运算的是有限个函数 它们的极限都 商的极限要求分母的极限不为0 不要随便参加运算 因为 不是数 它是 表示函数的一种性态 存在 11 解 例1 求极限方法举例 12 小结 则有 则有 13 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系 例2 得 14 解 例3 消去零因子法 再求极限 方法 分子 分母的极限都是零 先约去不为零的无穷小因子 15 例4 解 无穷小因子分出法 分子 分母的极限均为无穷大 方法 先用 去除分子分母 分出无穷小 再求极限 先将分子 分母同除以x的最高次幂 无穷小分出法 以分出 再求极限 求有理函数当 的极限时 无穷小 16 小结 例5 解 17 例6 解 先作恒等变形 和式的项数随着n在变化 再求极限 使和式的项数固定 原式 不能用运算法则 方法 18 例7 解 不满足每一项极限都存在的条件 不能直接 应用四则运算法则 分子有理化 19 练习 解 原式 2 求 20 设函数 是由函数 与函数 复合而成 有定义 若 且存在 有 则 定理5 复合函数的极限运算法则 例8 求极限 解 可看作 与 复合而成 并且 因而 21 1 极限的四则运算法则及其推论 2 极限求法 对某些不能直接利用四则运算法则的极限 有时可采用下述方法 1 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系 2 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质 4 无穷小因子分出法 3 消去零因子法 三 小结 22 6 直接利用无穷大的概念判断 5 根式转移法 7 利用左右极限求分段函数极限 为了对求极限的方法有全面的了解 指出 8 利用夹逼定理 9 利用连续函数的性质 10 利用等价无穷小代换 11 利用未定式求极限法 还有下述方法 23 思考题 在某个过程中 若有极限 无极限 那么是否有极限 解答 没有极限 假设 由极限运算法则可知 必有极限 与已知矛盾 故假设错误 有极限 为什么 1 24 试确定常数 解 令 则 使 即 2 25 1 极限运算法则 1 无穷小运算法则 2 极限四则运算法则 3 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2 求函数极限的方法 1 分式函数极限求法 时 用代入法 分母不为0 时 对 型 约去公因子 时 分子分母同除最高次幂 抓大头 2 复合函数极限求法 设中间变量 内容小结 26 思考及练习 1 是否存在 为什么 答 不存在 否则由 利用极限四则运算法则可知 存在 与已知 条件矛盾 解 原式 2 问 27 解 原式 3 求