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2016届4月模拟考试（NC）理科数学第卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则为（ ） A. B. C. D. 2.复数在复平面内对应的点在虚轴上，则（ ） A. B. C. D.3.已知，数列是公比为的等比数列，则（ ） A. B. C. D. 4.已知命题是的充分必要条件，命题：设随机变量，若，则，下列命题是假命题是为（ ） A. B. C. D. 5.已知变量满足则的最大值为（ ） A. B. C. D.6.已知函数的图象与函数的图象的对称中心完全相同，则（ ） A. B. C. D.7.当双曲线C不是等轴双曲线，我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”，则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”离心率为（ ） A. B. C. D.8.执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 10.某校文化艺术节要安排六个节目，其中高一年级准备3个节目，高二年级准备2个节目，高三年级准备1个节目，则同一年级的节目不相邻的安排种数为（ ） A. B. C. D. 11.已知点P在直径为的球面上，过点P作球的两两垂直的三条弦，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 12.定义：如果函数在区间上存在满足，则称函数是区间上的“双中值函数”.已知函数是上的“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量，若，则向量的夹角为 .14.设圆C的圆心是抛物线的焦点，且与直线相切，则圆C的方程是 .15.设是展开式的中间项，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是 .16.若数列与满足，,且，设数列的前项和为，则 .三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分) 在中，分别是角的对边，已知 （1）若，求的值；（2）若的面积为，且，求的值.18.(本小题满分12分) 某市交管部门随机抽取了89名司机调查有无酒驾习惯，汇总数据得到下表： 已知在这89人随机抽取1人，抽到无酒驾习惯的概率为（1）将上表空白部分的数据补充完整；（2）若从有酒驾习惯的人中按性别用分层抽样的方法抽取8人参加某项活动，现从这8人中随机抽取2人，记抽到女性的人数为，求的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分) 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形， （1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.20(本小题满分12分) 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左顶点，过点作斜率为的直线交椭圆C于点D，交轴于点E. （1）求椭圆的方程；（2）已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的，都有？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.21.(本小题满分12分) 已知函数 （1）若对，恒有不等式，求的取值范围;（2）证明：对，恒有.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲 如图，圆O 是的外接圆，的平分线交BC于点F，D是AF的延长线与的交点，AC的延长线与的切线DE交于点E. （1）求证：（2）若，求的值.23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲 已知直线的参数方程为（为参数），以原点O为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为. （1）写出直线的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）若点P的直角坐标为，圆C与直线交于A,B两点，求的值.24.(本小题满分10分)不等式选讲 已知函数 （1）解关于的不等式（2）若的解集非空，求实数的取值范围.www.ks5u.com2016届4月模拟考试（NC）理科数学2016届高三模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题 CBDAC DDBCC AD 二、填空题13. 14.; 15.5, 16.527.三、解答题17、解： 即 2分 3分（1）由得 5分所以 6分（2）因为 所以由余弦定理得：48分又 ，所以 10分联立，且bc得：b= ,c= 12分18、(1)男性女性合计无酒驾习惯312657有酒驾习惯24832合计553489 4分（2）因为从有酒驾的人中按性别用分层抽样的方法抽取8人，所以男性抽出 所以X可取的值为0,1,2; 5分X服从超几何分布P(x=0)= P(x=1)= P(x=0)= 8分所以X的分布列为X012P10分E(X)=2= 12分 19.（1）计算,又因为SD=1，于是，利用勾股定理，可知，同理，可证，又SASB=S因此SD平面SAB 4分（2）过D做DZ平面ABCD，如图建立空间直角坐标系D-xyz则D(0,0,0)A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0)设S=(x,y,z)则 即解之得：S（） 6分设平面SBC的一个法向量是则即 令c=2则, 8分=(0,2,0)所以= 11分设AB与平面SBC所成角为。则sin 12分20.(1)因为左顶点为A 所以c=2又因为 2分所以椭圆方位为： 3分(2)直线的方程为y=k() 由 消元得化简得（）所以 6分所以D,又因为点P为AD的中点，所以P()则 9分直线的方程为y=k()，令得E（0,4k）假设存在定点Q(m,n)(m)使得，则 即所以(4m+12)k-3n=0恒成立所以 即因此定点Q的坐标为(-3,0) 12分21.（1）当只需证： 2分令h（） （x0）则由知函数h（）在区间（0,1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增 4分故的取值范围是（ 5分 (2)证：要证，只要证f()= 由,知f（x）在区间（0，上单调递减，在区间（上单调递增.于是，当x0时f（x） 7分令=在(0,1)上单调递增，在(1,+ )上单调递减于是，= 9分显然，不等式，中的等号不能同时成立.故当时，f()g() 即 12分22. （1）证明：连接CD，则AD平分BAC，BAD=EAD，=，DE是圆O的切线，CDE=EAD=BADDCE是四边形ABCD的外角，DCE=ABD，ABDDCE，所以 5分 （2）解：=，BD=3，BD=CD=3，CBD=BCD，DE是圆O的切线，EC=2，CA=6，CDE=CBD，DE2=EC？EA=16，DE=4，CDE=BCD，DEBC，E=ACB=ADB，DCEBFD， BF=10分23. (1) 直线的普通方程为： 2分 圆C的直角坐标方程为： 5分(2)把直线的参数方程（t为参数）代入圆C的方程得：化简得： 8分所以 所以PA+PB=+=4 10分24. 解：（）由题意原不等式可化为：即：由得由得 4分综上原不等式的解为5分（）原不等式等价于的解集非空令，即，由，所以即，9分所以10分
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