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上海交通大学 概率论与数理统计试卷 (A) 2003.12.31姓名： 班级： 学号： 得分： 一、 判断题（10分，每题2分）1. 在古典概型的随机试验中，当且仅当是不可能事件. （ ）2连续型随机变量的密度函数与其分布函数相互唯一确定. （ ）3若随机变量与独立，且都服从的 (0，1) 分布，则. （ ） 4设为离散型随机变量, 且存在正数k使得，则的数学期望未必存在. （ ） 5在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少. （ ） 二、 选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为，重复进行试验直到第次才取得 次成功的概率为. （）； （）；（）； （）.2. 离散随机变量的分布函数为，且，则 . （）； （）； （）； （）.3. 设随机变量服从指数分布，则随机变量的分布函数. （）是连续函数； （）恰好有一个间断点； （）是阶梯函数； （）至少有两个间断点.4. 设随机变量的方差相关系数则方差. （）40； （）34； （）25.6； （）17.6 .5. 设为总体的一个样本，为样本均值，则下列结论中正确的是. （）； （）；（）； （）.三、 填空题（28分，每题4分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为.2. 设连续随机变量的密度函数为，则随机变量的概率密度函数为 . 3. 设为总体中抽取的样本()的均值, 则 . 4. 设二维随机变量的联合密度函数为 则条件密度函数为当 时 . 5. 设, 则随机变量服从的分布为 ( 需写出自由度 ) . 6. 设某种保险丝熔化时间（单位：秒），取的样本，得样本均值和方差分别为，则的置信度为95%的单侧置信区间上限为 . 7. 设的分布律为 1 2 3 已知一个样本值，则参数的极大似然估计值为 . 四、 计算题（40分，每题8分） 1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05. 求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率. 2设随机变量与相互独立，分别服从参数为的指数分布，试求的密度函数. 3某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率. 4设总体，为总体的一个样本. 求常数 k , 使为s 的无偏估计量. 5（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力（单位：kg）. 已知 kg， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值 kg. 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570 kg ？ （） （2）已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布. 某日抽取5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用作假设检验. 五、 证明题（7分）设随机变量相互独立且服从同一贝努利分布. 试证明随机变量与相互独立.附表： 标准正态分布数值表 分布数值表 t分布数值表 上海交大概率统计试卷解析 2003.12.31一. 判断题1. 是. 在几何概型中，命题“当且仅当是不可能事件” 是不成立的. 2. 非. 改变密度函数在个别点上的函数值，不会改变分布函数的取值.3. 非. 由题设条件可得出，根本不能推出. 4. 非. 由题设条件可可以证明 绝对收敛，即必存在.5. 是. 由关系式 (等式右端为定值) 可予以证明. 二. 选择题1.（） 2.（） 3.（） 4.（） 5.（）. 三. 填空题1. 19/396 . 2 . . 3. 0.9772 . 4. 当时 5. . 6. 上限为 15.263 . 7. 5 / 6 .四. 计算题1. 被查后认为是合格品的事件， 抽查的产品为合格品的事件. ， 2. 解一 时，从而 ；时，所以解二 时， ； 时， 所以 解三 设 随机变量的联合密度为 所以 .3. 设 为第i周的销售量, ， 则一年的销售量为 ，, . 由独立同分布的中心极限定理，所求概率为 . 4. 注意到 的相互独立性 5. (1) 要检验的假设为 检验用的统计量 ， 拒绝域为 . ，落在拒绝域内， 故拒绝原假设，即不能认为平均折断力为570 kg . (2) 要检验的假设为 检验用的统计量 ， 拒绝域为 或 ， , 落在拒绝域内， 故拒绝原假设，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . 五、 证明题 证一 由题设知 0 1 0 1 2 ； ； ； ； ； . 所以 与相互独立. 证二 由题设可得与的联合分布 0 1 2 0 1 联合概率矩阵中任两行或两列元素对应成比例，故概率矩阵的秩等于1，所以 与相互独立. 9 A 卷 共 6 页 第 页
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