辽宁师大附中2015届高三上学 期期中数学试卷(理科)(解析版).doc

辽宁师大附中2015届高三上学 期期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分1（5分）已知集合M=x|xx2，N=x|y=2x，xR，则MN=（）A（0，1）B0，1C0，1）D（0，12（5分）已知平面、，则下列命题中正确的是（）A，=a，ab，则bB，则C=a，=b，则abD，则3（5分）已知命题，命题q：（x+a）（x3）0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A（3，1B3，1C（，3D（，14（5分）在ABC中，C=90，且CA=CB=3，点M满足等于（）A2B3C4D65（5分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）（）ABCD6（5分）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）ABCD7（5分）函数y=loga（x+3）1（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn0，则+的最小值为（）A6B8C10D128（5分）已知实数x，y满足：，z=|2x2y1|，则z的取值范围是（）A，5B0，5C0，5）D，5）9（5分）已知点E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有（）A0条B1条C2条D无数条10（5分）已知ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，且acosC+c=b，若a=1，c2b=1，则角B为（）ABCD11（5分）已知四面体PABC中，PA=4，AC=2，PB=PC=2，PA平面PBC，则四面体PABC的内切球半径与外接球半径的比（）ABCD12（5分）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（x）=f（x），f（2）=3，数列an满足a1=1，且=2+1，（其中Sn为an的前n项和）则f（a5）+f（a6）=（）A3B2C3D2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案填在相应位置上13（5分）数列an中，的前n项和为14（5分）若圆x2+y24x4y10=0上恰有三个不同的点到直线l：y=kx的距离为2，则k=15（5分）过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：+=1（ab0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于16（5分）已知函数f（x）=x3+x，对任意的m2，2，f（mx2）+f（x）0恒成立，则x的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，共70分.17（12分）已知函数f（x）=sinxcos（x）+cos2x（）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值x时的取值集合；（）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=3求a的最小值18（12分）已知单调递增的等比数列an满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=anan，Sn=b1+b2+bn，求使Sn+n2n+150成立的正整数n的最小值19（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2，又AA1平面ABC，D、E分别是AC、CC1的中点（1）求证：AE平面A1BD；（2）求二面角DBA1A的余弦值；（3）求点B1到平面A1BD的距离20（10分）已知函数f（x）=xalnx（aR）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值21（12分）已知椭圆+=1（ab0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e（）若e=，求椭圆的方程；（）设直线y=kx（k0）与椭圆相交于A，B两点，若=0，且e，求k的最小值22（12分）已知函数（1）若函数f（x）在（0，+）上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设m，nR，且mn，求证辽宁师大附中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分1（5分）已知集合M=x|xx2，N=x|y=2x，xR，则MN=（）A（0，1）B0，1C0，1）D（0，1考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出不等式xx2的解集即为集合M，由y=2x0求出集合N，再由交集的运算求MN解答：解：由xx2得，0x1，则集合M=0，1，由y=2x0得，则集合N=（0，+），所以MN=（0，1，故选：D点评：本题考查交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，指数不等式的性质，属于基础题2（5分）已知平面、，则下列命题中正确的是（）A，=a，ab，则bB，则C=a，=b，则abD，则考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：根据空间线面平行和线面垂直的判定方法，性质及几何特征，逐一分析四个答案中推理过程及结论的正误，可得答案解答：解：若，=a，ab，则b与的关系不确定，故A错误；若，则与可能平行也可能相交（此时交线与垂直），故B错误；若=a，=b，则a与b可能平行，也可能相交，故C错误；若，根据两个平行平面与第三个平面的夹角相等，结合可得，故D正确；故选：D点评：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面平行和线面垂直的判定方法，性质及几何特征，是解答的关键3（5分）已知命题，命题q：（x+a）（x3）0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A（3，1B3，1C（，3D（，1考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：计算题；转化思想分析：求解本题要先对两个命题进行化简，解出其解集，由p是q的充分不必要条件可以得出p命题中有等式的解集是q命题中不等式解集的真子集，由此可以得到参数a的不等式，解此不等式得出实数a的取值范围解答：解：对于命题，解得1x1，则A=（1，1）对于命题q：（x+a）（x3）0，其方程的两根为a与3，讨论如下，若两根相等，则a=3满足题意若a3，则a3则不等式解集为（，a）（3，+），由p是q的充分不必要条件，得a1，得a1，故符合条件的实数a的取值范围3a1若a3，即a3，则不等式解集为（，3）（a，+），满足p是q的充分不必要条件，得a3，综上知，符合条件的实数a的取值范围是（，1故选D点评：本题考点必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查不等式的解法以及利用充分不必要条件确定两个不等式解集之间的关系，以得出参数所满足的不等式，此是本章中的一种常见题型4（5分）在ABC中，C=90，且CA=CB=3，点M满足等于（）A2B3C4D6考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题分析：由=（ ），再利用向量和的夹角等于45，两个向量的数量积的定义，求出 的值解答：解：由题意得 AB=3，ABC是等腰直角三角形，=（ ）=+=0+|cos45=33=3，故选B点评：本题考查两个向量的数量积的定义，注意向量和的夹角等于45这一条件的运用5（5分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）（）ABCD考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；图表型分析：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可解答：解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2+=，故选A点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等6（5分）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）ABCD考点：正弦函数的对称性 专题：三角函数的图像与性质分析：先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令x+=即可得到答案解答：解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程故选A点评：本小题综合考查三角函数的图象变换和性质图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视一般地，y=Asin（x+）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值7（5分）函数y=loga（x+3）1（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn0，则+的最小值为（）A6B8C10D12考点：基本不等式；平均值不等式 专题：整体思想分析：根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可解答：解：x=2时，y=loga11=1，函数y=loga（x+3）1（a0，a1）的图象恒过定点（2，1）即A（2，1），点A在直线mx+ny+1=0上，2mn+1=0，即2m+n=1，mn0，m0，n0，+=+=2+24+2=8，当且仅当m=，n=时取等号故选B点评：本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是2015届高考考查的重点内容8（5分）已知实数x，y满足：，z=|2x2y1|，则z的取值范围是（）A，5B0，5C0，5）D，5）考点：简单线性规划 专题：数形结合；不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域如图，令u=2x2y1，由线性规划知识求出u的最值，取绝对值求得z=|u|的取值范围解答：解：由约束条件作可行域如图，联立，解得，A（2，1），联立，解得，令u=2x2y1，则，由图可知，当经过点A（2，1）时，直线在y轴上的截距最小，u最大，最大值为u=222（1）1=5；当经过点时，直线在y轴上的截距最大，u最小，最小值为u=，z=|u|0，5）故选：C点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数学转化思想方法，求z得取值范围，转化为求目标函数u=2x2y1的取值范围，是中档题9（5分）已知点E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有（）A0条B1条C2条D无数条考点：直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，以C为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出与平面ABCD垂直的直线MN只有1条解答：解：设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，以C为原点建立空间直角坐标系，则D1（2，0，2），E（1，2，0），=（1，2，2），C1（0，0，2），F（2，2，1），=（2，2，1），设=，则M（2，2，22），设=t，则N（2t，2t，2t），=（2t2+，2t2，2t），直线MN与平面ABCD垂直，解得=t=，方程组只有唯一的一组解，与平面ABCD垂直的直线MN有1条故选：B点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是直线与平面平行的判断和面面平行的判定与性质，考查空间想象能力和简单推理能力10（5分）已知ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，且acosC+c=b，若a=1，c2b=1，则角B为（）ABCD考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：已知等式利用正弦定理化简，整理求出cosA的值，求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把a与sinA的值代入得到关于b与c的方程，与已知等式联立求出b与c的值，再利用正弦定理求出sinB的值，即可确定出B的度数解答：解：已知等式利用正弦定理化简得：sinAcosC+sinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，由sinC0，整理得：cosA=，即A=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即1=b2+c2bc，与c2b=1联立，解得：c=，b=1，由正弦定理=，得：sinB=，bc，BC，则B=故选：B点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键11（5分）已知四面体PABC中，PA=4，AC=2，PB=PC=2，PA平面PBC，则四面体PABC的内切球半径与外接球半径的比（）ABCD考点：球的体积和表面积；球内接多面体 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：确定PBC为等边三角形，ABC为等腰三角形，分别求出四面体PABC的内切球半径与外接球半径，即可得出结论解答：解：由题意，已知PA面PBC，PA=4，PB=BC=2，AC=2所以，由勾股定理得到：AB=2，PC=2所以，PBC为等边三角形，ABC为等腰三角形等边三角形PBC所在的小圆的直径PD=4那么，四面体PABC的外接球直径2R=4，所以，R=2VPABC=SPBCPA=124=4表面积S=242+12+25=16设内切球半径为r，那么4=16r，所以r=，所以四面体PABC的内切球半径与外接球半径的比=故选：C点评：本题考查四面体PABC的内切球半径与外接球半径，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12（5分）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（x）=f（x），f（2）=3，数列an满足a1=1，且=2+1，（其中Sn为an的前n项和）则f（a5）+f（a6）=（）A3B2C3D2考点：数列与函数的综合；函数的周期性 专题：综合题；压轴题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列分析：先由函数f（x）是奇函数，f（x）=f（x），推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3为周期的周期函数再由a1=1，且Sn=2an+n，推知a5=31，a6=63计算即可解答：解：函数f（x）是奇函数f（x）=f（x）f（x）=f（x），f（x）=f（x）f（3+x）=f（x）f（x）是以3为周期的周期函数数列an满足a1=1，且=2+1，a1=1，且Sn=2an+n，a5=31，a6=63f（a5）+f（a6）=f（31）+f（63）=f（2）+f（0）=f（2）=f（2）=3故选C点评：本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中相互结合转化中奇偶性，对称性和周期性之间是一个重点二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案填在相应位置上13（5分）数列an中，的前n项和为考点：数列的求和 专题：计算题分析：由等差数列求和公式求数列an的通项公式得，代入得到，然后用裂项求和得到解答：解：设数列bn的前n项和为Sn由题意可得Sn=b1+b2+bn1+bn=点评：本题考查等差数列求和公式，重点考查是利用通项变形将通项公式裂成两项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限的几项的和14（5分）若圆x2+y24x4y10=0上恰有三个不同的点到直线l：y=kx的距离为2，则k=2或2考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题；压轴题；数形结合分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径，根据图象得到圆心到直线l的距离等于，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d=列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x2）2+（y2）2=18，得到圆心坐标为（2，2），半径r=3，根据题意画出图象，如图所示：根据图象可知：圆心到直线l的距离d=32，化简得：k24k+1=0，解得：k=2，则k=2+或2故答案为：2+或2点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题本题的关键是根据题意找出圆心到直线l的距离为15（5分）过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：+=1（ab0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为，即可求出椭圆C的离心率解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，M是线段AB的中点，=1，=1，直线AB的方程是y=（x1）+1，y1y2=（x1x2），过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：+=1（ab0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，两式相减可得，即，a=b，=b，e=故答案为：点评：本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键16（5分）已知函数f（x）=x3+x，对任意的m2，2，f（mx2）+f（x）0恒成立，则x的取值范围为（2，）考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质 专题：计算题分析：知原函数在R上单调递增，且为奇函数，由f（mx2）+f（x）0恒成立得mx2xxm+x20，对所有m2，2恒成立，然后构造函数f（m）=xm+x2，利用该函数的单调性可解得x的范围解答：解：易知原函数在R上单调递增，且为奇函数，故f（mx2）+f（x）0f（mx2）f（x）=f（x），此时应有mx2xxm+x20，对所有m2，2恒成立，令f（m）=xm+x2，此时只需即可，解之得2x故答案为：（2，）点评：本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解决不等式恒成立问题时注意变换主元的方法，是个中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.17（12分）已知函数f（x）=sinxcos（x）+cos2x（）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值x时的取值集合；（）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=3求a的最小值考点：三角函数中的恒等变换应用；余弦定理 专题：计算题；解三角形分析：（）先对函数解析式化简，利用三角函数的性质求得函数的最大值及此时x的集合（）利用f（A）求得A，进而根据余弦定理构建b，c和a的关系，利用基本不等式的知识求得a的最小值解答：解：（）解：f（x）=sinx（cosx+sinx）+cos2x=sinxcosx+cos2x=（sin2x+cos2x）+=sin（2x+）+函数f（x）的最大值为当f（x）取最大值时 sin（2x+）=1，2x+=2k+（kZ），解得x=k+（kZ），故x的取值集合为x|x=x=k+，kZ（）由题意f（A）=sin（2A+）+=，化简得 sin（2A+）=A（0，），2A+，2A+=，A=；在ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c22bccos=（b+c）23bc，b+c=3bc（）2=，a2，当且仅当b=c=时取最小值点评：本题主要考查三角函数恒等变换的运用，余弦定理及基本不等式的基本知识18（12分）已知单调递增的等比数列an满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=anan，Sn=b1+b2+bn，求使Sn+n2n+150成立的正整数n的最小值考点：数列的求和；等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（1）设等比数列an的首项为a1，公比为q，依题意，可得到关于a1与q的方程组，解之即可求得数列an的通项公式；（2）（1）得an=2n，再由bn=anan，可得bn=n2n，于是Sn=（12+222+n2n），利用错位相减法即可求得Sn=2+22+23+2nn2n+1=2n+12n2n+1，解不等式Sn+n2Pn+1P50即可求得使之成立的正整数n的最小值解答：解：（1）设等比数列an的首项为a1，公比为q依题意，有2（a3+2）=a2+a4，代入a2+a3+a4=28，可得a3=8，a2+a4=20，（2分）即，解之得或 （4分）又数列an单调递增，所以q=2，a1=2，数列an的通项公式为an=2n （6分）（2）因为，所以Sn=（12+222+n2n），2Sn=122+223+（n1）2n+n2n+1，两式相减，得Sn=2+22+23+2nn2n+1=2n+12n2n+1 （10分）要使Sn+n2n+150，即2n+1250，即2n+152易知：当n4时，2n+125=3252；当n5时，2n+126=6452故使Sn+n2n+150成立的正整数n的最小值为5（12分）点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的通项公式的应用，突出考查错位相减法求和，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题19（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2，又AA1平面ABC，D、E分别是AC、CC1的中点（1）求证：AE平面A1BD；（2）求二面角DBA1A的余弦值；（3）求点B1到平面A1BD的距离考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系，确定向量坐标，利用数量积为0，即可证得结论；（2）确定面DA1B的法向量、面AA1B的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角DBA1A的余弦值；（3）=（0，2，0），平面A1BD的法向量取=（2，1，0），利用距离公式可求点B1到平面A1BD的距离解答：（1）证明：以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（1，0，0），E（1，1，0），A1（1，2，0），C1（1，2，0），B（0，0，）=（2，1，0），=（1，2，0），=（0，0，）又A1D与BD相交AE面A1BD （5分）（2）解：设面DA1B的法向量为=（x1，y1，z1），则，取=（2，1，0）（7分）设面AA1B的法向量为=（x2，y2，z2），则，取=（3，0，） （9分）cos=故二面角DBA1A的余弦值为 （10分）（3）解：=（0，2，0），平面A1BD的法向量取=（2，1，0）则B1到平面A1BD的距离为d=|= （13分）点评：本题考查向量知识的运用，考查线面垂直，考查面面角，考查点到面的距离，考查学生的计算能力，属于中档题20（10分）已知函数f（x）=xalnx（aR）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a0时，f（x）0，函数在定义域（0，+）上单调递增，函数无极值，当a0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值解答：解：函数f（x）的定义域为（0，+），（1）当a=2时，f（x）=x2lnx，因而f（1）=1，f（1）=1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1）处的切线方程为y1=（x1），即x+y2=0（2）由，x0知：当a0时，f（x）0，函数f（x）为（0，+）上的增函数，函数f（x）无极值；当a0时，由f（x）=0，解得x=a又当x（0，a）时，f（x）0，当x（a，+）时，f（x）0从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=aalna，无极大值综上，当a0时，函数f（x）无极值；当a0时，函数f（x）在x=a处取得极小值aalna，无极大值点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题21（12分）已知椭圆+=1（ab0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e（）若e=，求椭圆的方程；（）设直线y=kx（k0）与椭圆相交于A，B两点，若=0，且e，求k的最小值考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（I）先根据椭圆方程，根据条件列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c即可得到结论（II）因为直线和椭圆有两个不同的交点，所以两方程联立化成关于x的一元二次方程，可运用设而不求的办法把设出的A，B点的坐标代入向量的数量积公式，求出k关于a的函数表达式，进一步整理后求出函数的值域即可解答：解：（I）由题得：c=3，=a=2，b=故椭圆方程为；（II）由得（b2+a2k2）x2a2b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=0，x1x2=，又=（3x1，y1），=（3x2，y2），=（1+k2）x1x2+9=0，即，k2=1，e，2a3，12a218，k2，即 k（，+）点评：本题主要考查椭圆的基本性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了学生的运算能力，一般涉及直线与圆锥曲线的交点问题，常利用方程思想此题是中档题22（12分）已知函数（1）若函数f（x）在（0，+）上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设m，nR，且mn，求证考点：利用导数研究函数的单调性 专题：计算题；证明题；压轴题分析：（1）根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，通分后根据函数f（x）在（0，+）上为单调增函数，得到分子大于0恒成立，解出2a2小于等于一个函数关系式，利用基本不等式求出这个函数的最小值，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围；（2）把所证的式子利用对数的运算法则及不等式的基本性质变形，即要证ln0，根据（1）得到h（x）在x大于等于1时单调递增，且大于1，利用函数的单调性可得证解答：解：（1）f（x）=，因为f（x）在（0，+）上为单调增函数，所以f（x）0在（0，+）上恒成立即x2+（22a）x+10在（0，+）上恒成立，当x（0，+）时，由x2+（22a）x+10，得：2a2x+，设g（x）=x+，x（0，+），则g（x）=x+2=2，当且仅当x=即x=1时，g（x）有最小值2，所以2a22，解得a2，所以a的取值范围是（，2；（2）要证，只需证，即ln，即ln0，设h（x）=lnx，由（1）知h（x）在（1，+）上是单调增函数，又1，所以h（）h（1）=0，即ln0成立，得到点评：此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握不等式恒成立时所满足的条件，会利用基本不等式求函数的最小值，是一道中档题在证明第（2）时注意利用第（1）问中的结论- 21 -