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中国计量学院毕业设计（论文）开题报告学生姓名： 陈静莉 学 号： 0700802116 专 业： 数学与应用数学 班 级： 07数学（1）班 设计（论文）题目： Taylor公式的一些应用 指导教师： 罗先发 二级学院： 理学院 2010年 3月 24日Taylor公式的一些应用一、课题的背景和意义（一） 课题背景多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容；而在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值；因此可以利用泰勒公式解决这一类的广泛问题，泰勒公式成为数学分析中应用非常丰富的重要内容；（二）课题意义泰勒公式作为数学分析最基础最重要的内容，作为一种研究将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数的有效工具，是我们学习数学分析的必备知识。本课题论文主要介绍了泰勒公式并归纳其在各领域的应用方法，从泰勒公式在近似计算、求极限问题、解决中值问题、估计无穷小（大）量的阶、判定级数的敛散性、研究函数的泰勒展开等方面阐述泰勒公式的一些应用，使我们能够对泰勒公式及其应用有一个总体上的认识，这对我们学习泰勒公式及其应用理论的理解和掌握有非常重要的意义。二、泰勒公式定义及分类首先阐述泰勒公式的定义，并从定性与定量两方面针对泰勒余项对泰勒公式分类,以及介绍几个常见且最基本的泰勒展开式，对泰勒公式的内涵作初步了解；（一）泰勒公式的定义定义：对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构造一个次多项式:称为函数在点处的泰勒(Taylor)多项式，的各项系数:称为泰勒级数；（二）泰勒公式的分类1、带有佩亚诺（Peano）型余项的泰勒公式定理：若函数在存在直至阶导数,则有，即 （1）称(1)式为函数在点处的泰勒公式，称为泰勒公式的余项，形如的余项为佩亚诺（Peano）型余项,所以（1）式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。注1、 若在点附近满足 （2）其中，这时并不意味着必定就是的泰勒多项式；注2、 满足（2）式要求（即带有佩亚诺型误差）的次逼近多项式是唯一的；注3、 当=0时的特殊形式：它也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林（Maclaurin）公式。2、带有拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式定理（泰勒定理）若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得： （3）（3）式同样称为泰勒公式，它的余项为： ， ，称为拉格朗日（Lagrange）型余项，所以（3）式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。注1、 时，（3）式即为拉格朗日中值公式，所以，泰勒公式也可以看做拉格朗日中值定理的推广；注2、 当时，得到泰勒公式： 称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式。泰勒公式的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：当时，逼近误差是较高阶的无穷小量，而泰勒公式的拉格朗日型余项是一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计。（三）常见函数的泰勒展开式（文献）： 以上五个泰勒展开式为最基本的泰勒展开式，对之后研究的泰勒公式有着非常大的作用，是解决问题的基础公式；三、泰勒公式的应用 若把看成定点，看成动点,则（1）、（3）式通过定点处的函数值及导数值表达动点处的函数值；当问题涉及到2阶以上的导数时，通常可考虑用泰勒（Taylor）公式求解，这里关键在于选取函数，点，展开的阶次，以及余项形式，根据需要，一般应选在选在有特点的地方，例如使某的地方等（文献2）； 以下从六个方面来介绍我要研究的应用；（一）泰勒公式在近似计算上的应用利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,这类问题，我主要研究利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式,其误差是余项；从而得到问题的结果；（二）泰勒公式在求极限的应用求未定式的极限利用罗必达法则是很有效的，但是对某些未定式的极限并不方便，甚至不能求出，此时可利用带余项的泰勒展开式再配合中值定理加以解决，利用罗必达法则求未定式的极限时，其结果是化成某阶导数的比，而泰勒公式的各项系数正分别含着各阶导数的值，罗必达法则所肯定的结论可以在特殊条件下， 用泰勒展开式推导出来。 所以可利用已知函数的泰勒公式求未定式的极限（文献8） 因此对于这类问题，我主要的研究方法为：用泰勒展开式来代替其中的一项，使得原来的函数的极限问题转化为多项式有理分式的极限问题；（三）泰勒公式在解决中值问题上的应用二元函数的中值定理和泰勒公式与一元函数的拉格朗日公式和泰勒公式相仿，对于元函数（）也有同样的公式，只是形式上更复杂一些；定理（中值定理）：设二元函数在凸开域上连续，在的所有内点都可微，则对内任意两点，存在其，使得 （4）注、公式（4）也称为二元函数（在凸域上）的中值公式； 定理（泰勒公式）：若函数在点的某邻域内有直到阶的连续偏导数，则对在任一点，存在相应的，使得(5)(5)式称为二元函数在点的阶泰勒公式，其中；注、易见公式（4）正是泰勒公式（5）在时的特殊情形； 这类应用上，我主要研究利用上述定理处理有关中值定理的证明问题；（四）泰勒公式在估计无穷小（大）量的阶上的应用 如何估计无穷(小) 大量的阶, 对于简单函数可用估猜法, 但对于复杂的函数就无能为力了, 但用带佩亚诺（Peano） 型余项的Taylor公式就可迎刃而解（文献13）；这类问题，我主要研究用带佩亚诺型余项的泰勒公式解决相对复杂函数中估计无穷（小）大量的阶，如对于多个函数的相加，我研究的解决方式为；分解函数，将函数分别用泰勒公式代入，最后得出无穷小（大）的阶；（五）泰勒公式在判断级数敛散性的应用在级数敛散性的判断方面, 除了直接使用Taylor公式外, 有时还使用Taylor公式的中值形式，且在解决一些复杂问题时可能连续多次使用Taylor公式（文献7）；对于这类问题，我主要研究解决方法如下：利用泰勒公式把一些级数的通项近似表示成幂函数和的线性组合，误差为高阶无穷小，再根据级数和的收敛情况判别级数的敛散性；（五）泰勒公式在研究函数的泰勒展开上的应用函数的Taylor展 式在数学领域中起着非常重要的作用，例如计算数学中的数值逼近和数值计算时，进行误差分析，为获得截断误差时，它是一种十分常见而强有力的工具（文献4）定义:如果函数在处存在任意阶的导数，这时称形式为的级数为函数在的泰勒级数； 定理：设在点具有任意阶的导数，那么在区间内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件：对一切满足不等式的，有，这里是在的泰勒公式余项；定义：如果能在的某邻域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数在的这一邻域内可以展开成泰勒级数，并称等式 （6）的右边为在处的泰勒展开式，或称幂级数展开式；注1、 由级数的逐项求导性质可推得：若为幂级数注2、 在实际应用上，主要讨论函数在处的展开式，这时（6）式可以写作 ，称为麦克劳林级数；对这类问题的应用我的研究如下：1）少数比较简单的函数，其幂级数展开式直接从定义中出发，并根据定理求得；2）更多的情况是比较复杂的，需要从已知的展开式出发，通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项求积等方法，间接地求得函数的幂级数展开式；（六）泰勒公式的其他方面应用除以上应用外，泰勒公式在判断函数凹凸点及拐点、证明不等式、求高阶导数在某些点的数值、证明根的唯一存在性、求行列式的值等方面也有着重要的应用；四、工作进度安排3月01日-3月11日按任务书要求收集相关材料阅读文献并撰写综述3月12日-3月14日完成一篇英文文献翻译3月21日-3月25日撰写开题报告3月28日-4月8日开题报告修改定稿；组织开题答辩4月26日-5月07日完成论文初稿，呈老师审阅5月10日-5月14日毕业论文中期检查，填写论文进展情况调查表5月17日-5月21日完成论文修改稿，呈老师审阅5月24日-5月28日完成论文终稿，呈老师审阅5月30日-6月03日装订论文终稿，呈导师和评阅教师审阅；论文答辩参考文献：1华东师范大学数学系编.数学分析（上，下册）M. 上海:高等教育出版社，1996.2裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出版社，2006：437-440.3谢惠民等.数学分析习题课讲义（上、下册）M.北京:高等教育出版社，2003.4聂存云,谭敏.关于一阶Taylor展开余项表达形式的一点探讨J.湖南工程学院学报(自然科学版),2008,18(3):51-52.5韩宝燕.泰勒公式及其应用J.数学学习与研究,2010,1(5):105-105.6王友国.Taylor公式在级数判敛中的应用J.数学理论与应用,2008,28(4):96-98.7党振才,李晋忠.Taylor公式在判断级数敛散性时的应用J.高等数学研究,2009,12(3):63-64.8谢黎东.利用中值定理和泰勒公式求函数极限J.和田师范专科学校学报, 2007,27(2):198-199.9谭康.泰勒公式及泰勒级数之妙用J. 高等数学研究,2010,13(3):11-12.10刘新波等.数学分析选讲M.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2009：138-139.11陈丽,王海霞. Taylor公式的应用J.廊坊师范学院报,2009,9(2):20-23.12陈明. 泰勒公式在判定二元函数极限存在性中的应用J.数学理论与应用，2004，24(4):67-69.13方继光,项明寅.谈带皮亚诺余项的泰勒公式的应用J.安庆师范学院学报 ,2003，9(2):99-102.14陈文生.Taylor公式余项的几种形式及应用J. 宁德师专学报(自然科学版), 2010,22(3):230-232.15严振祥,沈家骅. 泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用J. 重庆交通大学学报(自然科学版),2007,26(4):160-161.16LI Hong-xu.Unilateral generalized Hessians and generalized Taylors expansions J. Journal of Sichuan University(Natural Science Edition),2007,44(1):11-16.17LI Qing-hong,WU Xin-yuan. On Vector Forms of Elemental Functions with Taylor SeriesJ.College mathematics,2003,19(3):50-54.
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