相似三角形与圆、二次函数综合题.doc

浙基教育武义校区 1 对 1 个性化教学 好老师 好成绩 更自信 杭州浙基教育武义温泉路校区 TEL 0579 87958882 ADD 武义县温泉路金鼎大厦二楼东 侧 1 网 址 邮箱 zhejiedu07 新浪博客 相似三角形的中考综合题 相似三角形知识点大总结 知识点1 有关相似形的概念 知识点2 比例线段的相关概念 1 如果选用同一单位量得两条线段 的长度分别为 那么就说这两条线段的比是 或写成 ba nm 注 在求线段比时 线段单位要 2 注 比例线段是有顺序的 如果说 是 的第四比例项 那么应得比例式为 dc a d 叫 b c 叫 a c 叫 b d 叫 d 叫 acbd 在 比 例 式 中 如果 b c 即 那么 b 叫做 a d 的 此时有 3 黄金分割 注 黄金三角形 顶角是 360的等腰三角形 黄金矩形 宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质 注意性质立的条件 分母不能为0 1 基本性质 注 由一个比例式只可化成一个等积式 而一个等积式共可化成八个比例式 如 除bcad 了可化为 还可化为 dcba dbca ba cd bda cd 2 更比性质 交换比例的内项或外项 cbdabc 交 换 内 项 交 换 外 项 同 时 交 换 内 外 项 3 反比性质 把比的前项 后项交换 4 合 分比性质 注 实际上 比例的合比性质可扩展为 比例式中等号左右两个比的前项 后项之间 发生同样和差变化比例仍成立 如 等等 dcbadcb 5 等比性质 如果 那么 0 nfnmfedcba banfdbmeca 浙基教育武义校区 1 对 1 个性化教学 好老师 好成绩 更自信 杭州浙基教育武义温泉路校区 TEL 0579 87958882 ADD 武义县温泉路金鼎大厦二楼东 侧 2 网 址 邮箱 zhejiedu07 新浪博客 注 此性质的证明运用了 设 法 即引入新的参数 k 这样可以减少未知数的个数 这种方法是有关比例计算变形中k 一种常用方法 应用等比性质时 要考虑到分母是否为零 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数 再利用等比性质也成立 如 其中 bafdbecafedcbafedcba 3232 032 fd 知识点 4 比例线段的有关定理 1 三角形中平行线分线段成比例定理 平行于三角形一边的直线截其它两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 由 DE BC 可得 ACEBDAECDB 或或 注 重要结论 平行于三角形的一边 并且和其它两边相交的直线 所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 那 么这条直线平行于三角形的第三边 此定理给出了一种证明两直线平行方法 即 利用比例式证平行线 平行线的应用 在证明有关比例线段时 辅助线往往做平行线 但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求 的两条线段的比 2 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所截得的对应线段成比例 已知 AD BE CF 可得 等 ABDEBCEFABCCFADEF 或 或 或 或 注 平行线分线段成比例定理的推论 平行线等分线段定理 两条直线被三条平行线所截 如果在其中一条上截得的线段相等 那么在另一条上截得的线段也相等 知识点 5 相似三角形的概念 对应角相等 对应边成比例的三角形 叫做相似三角形 相似用符号 表示 读作 相似于 相似三角形对应边的 比叫做相似比 或相似系数 相似三角形对应角相等 对应边成比例 注 对应性 即两个三角形相似时 一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上 这样写比较容易找到相似三角形的对应角 和对应边 顺序性 相似三角形的相似比是有顺序的 两个三角形形状一样 但大小不一定一样 全等三角形是相似比为 1 的相似三角形 二者的区别在于全等要求对应边相 等 而相似要求对应边成比例 知识点 6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理 FE D CB A E A B CD 浙基教育武义校区 1 对 1 个性化教学 好老师 好成绩 更自信 杭州浙基教育武义温泉路校区 TEL 0579 87958882 ADD 武义县温泉路金鼎大厦二楼东 侧 3 网 址 邮箱 zhejiedu07 新浪博客 1 相似三角形的等价关系 反身性 对于任一 有 ABC ABC 对称性 若 则 传递性 若 且 则 ABC 2 三角形相似的判定定理的预备定理 平行于三角形一边的直线和其它两边 或两边延长线 相交 所构成的三角形与原三 角形相似 定理的基本图形 用数学语言表述是 BCDE ADE BC 知识点 7 三角形相似的判定方法 1 定义法 三个对应角相等 三条对应边成比例的两个三角形相似 2 平行法 平行于三角形一边的直线和其它两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角 形与原三角形相似 3 判定定理 1 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等 那么这两 个三角形相似 简述为 两角对应相等 两三角形相似 4 判定定理 2 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例 并且夹 角相等 那么这两个三角形相似 简述为 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 5 判定定理 3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例 那么这 两个三角形相似 简述为 三边对应成比例 两三角形相似 6 判定直角三角形相似的方法 1 以上各种判定均适用 2 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三 角形相似 3 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似 注 射 影 定 理 在 直 角 三 角 形 中 斜 边 上 的 高 是 两 直 角 边 在 斜 边 上 射 影 的 比 例 中 项 每 一 条 直 角 边 是 这 条 直 角 边 在 斜 边 上 的 射 影 和 斜 边 的 比 例 中 项 如 图 Rt ABC 中 BAC 90 AD 是 斜 边 BC 上 的 高 则 AD2 BD DC AB2 BD BC AC2 CD BC 知识点 8 全等与相似的比较 三角形全等 三角形相似 两角夹一边对应相等 ASA 两角一对边对应相等 AAS 两边及夹角对应相等 SAS 三边对应相等 SSS 相似判定的预备定理 两角对应相等 两边对应成比例 且夹角相等 三边对应成比例 1 EA B CD 3 D B C AE 2 CD E A B DB C A 浙基教育武义校区 1 对 1 个性化教学 好老师 好成绩 更自信 杭州浙基教育武义温泉路校区 TEL 0579 87958882 ADD 武义县温泉路金鼎大厦二楼东 侧 4 网 址 邮箱 zhejiedu07 新浪博客 直角三角形中一直角边与斜边对应相等 HL 直角三角形中斜边与一直角边对应成比例 知识点 9 相似三角形的性质 1 相似三角形对应角相等 对应边成比例 2 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 3 相似三角形周长的比等于相似比 4 相似三角形面积的比等于相似比的平方 注 相似三角形性质可用来证明线段成比例 角相等 也可用来计算周长 边长等 知识点 10 相似三角形中有关证 解 题规律与辅助线作法 1 证明四条线段成比例的常用方法 1 线段成比例的定义 2 三角形相似的预备定理 3 利用相似三角形的性质 4 利用中间比等量代换 5 利用面积关系 2 证明题常用方法归纳 1 总体思路 等积 变 比例 比例 找 相似 2 找相似 通过 横找 竖看 寻找三角形 即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不 同的字母 并且这几个字母不在同一条直线上 能够组成三角形 并且有可能是相似的 则可证明这两个三角形相似 然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论 3 找中间比 若没有三角形 即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母 但这 几个字母在同一条直线上 则需要进行 转移 或 替换 常用的 替换 方法有这样的三种 等 线段代换 等比代换 等积代换 即 找相似找不到 找中间比 方法 将等式左右两边的比表示出来 为 中 间 比nmdcba nmdcnba 或 4 添加辅助线 若上述方法还不能奏效的话 可以考虑添加辅助线 通常是添加平行线 构成 比例 以上步骤可以不断的重复使用 直到被证结论证出为止 注 添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径 平面直角坐标系中通常是作垂线 即得平行线 构造相似三角形或比例线段 5 比例问题 常用处理方法是将 一份 看着 k 对于等比问题 常用处理办法是设 公比 为 k 6 对于复杂的几何图形 通常采用将部分需要的图形 或基本图形 分离 出来的办法处理 知识点 11 相似多边形的性质 1 相似多边形周长比 对应对角线的比都等于相似比 2 相似多边形中对应三角形相似 相似比等于相似多边形的相似比 3 相似多边形面积比等于相似比的平方 浙基教育武义校区 1 对 1 个性化教学 好老师 好成绩 更自信 杭州浙基教育武义温泉路校区 TEL 0579 87958882 ADD 武义县温泉路金鼎大厦二楼东 侧 5 网 址 邮箱 zhejiedu07 新浪博客 注意 相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决 因此 熟练掌握相似三角形知识是基础和关键 知识点 12 位似图形有关的概念与性质及作法 1 如果两个图形不仅是相似图形 而且每组对应顶点的连线都交于一点 那么这样的两个图形叫做位似图形 2 这个点叫做位似中心 这时的相似比又称为位似比 注 1 位似图形是相似图形的特例 位似图形不仅相似 而且对应顶点的连线相交于一点 2 位似图形一定是相似图形 但相似图形不一定是位似图形 3 位似图形的对应边互相平行或共线 3 位似图形的性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 注 位似图形具有相似图形的所有性质 4 画位似图形的一般步骤 1 确定位似中心 位似中心可以是平面中任意一点 2 分别连接原图形中的关键点和位似中心 并延长 或截取 3 根据已知的位似比 确定所画位似图形中关键点的位置 4 顺次连结上述得到的关键点 即可得到一个放大或缩小的图形 注 位似中心可以是平面内任意一点 该点可在图形内 或在图形外 或在图形上 图形边上或顶点上 外位似 位似中心在连接两个对应点的线段之外 称为 外位似 即同向位似图形 内位似 位似中心在连接两个对应点的线段上 称为 内位似 即反向位似图形 5 在平面直角坐标系中 如果位似变换是以原点O为位似中心 相似比为k k 0 原图形上点的坐标为 x y 那 么同向位似图形对应点的坐标为 kx ky 反向位似图形对应点的坐标为 kx ky 浙基教育武义校区 1 对 1 个性化教学 好老师 好成绩 更自信 杭州浙基教育武义温泉路校区 TEL 0579 87958882 ADD 武义县温泉路金鼎大厦二楼东 侧 6 网 址 邮箱 zhejiedu07 新浪博客 A D B C E F M 选择题 1 已知 AD 与 VC 相交于点 O AB CD 如果 B 40 D 30 则 AOC 的大小为 A 60 B 70 C 80 D 120 2 如图 已知 D E 分别是 ABC 的 AB AC 边上的点 DEBC 且 1ADEBCES 四 边 形 那么 AEC等于 A 1 9 B 1 3 C 1 8 D 1 2 3 如图 直角梯形 ABCD 中 BCD 90 AD BC BC CD E 为梯形内一点 且 BEC 90 将 BEC 绕 C 点旋转 90 使 BC 与 DC 重合 得到 DCF 连 EF 交 CD 于 M 已知 BC 5 CF 3 则 DM MC 的值为 A 5 3 B 3 5 C 4 3 D 3 4 填空题 1 如图 点 在射线 上 点 在射线 上 且 1234A OA123 OB123AB 若 的面积分别为 1 4 则图中三个阴影三角形面积之和23B 21 3 为 2 如图 一束光线从 y 轴上点 A 0 1 发出 经过 x 轴上点 C 反射后 经过点 B 6 2 则光线从 A 点到 B 点经过的路 线的长度为 精确到 0 01 O A1 A2 A3 A4 A B B1 B2 B3 1 4 A B C D O 浙基教育武义校区 1 对 1 个性化教学 好老师 好成绩 更自信 杭州浙基教育武义温泉路校区 TEL 0579 87958882 ADD 武义县温泉路金鼎大厦二楼东 侧 7 网 址 邮箱 zhejiedu07 新浪博客 3 阳光明媚的一天 数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度 这棵树底部可以到达 顶部不易到达 他们带了以下 测量工具 皮尺 标杆 一副三角尺 小平面镜 请你在他们提供的测量工具中选出所需工具 设计一种测量方案 1 所需的测量工具是 2 请在下图中画出测量示意图 3 设树高 AB的长度为 x 请用所测数据 用小写字母表示 求出 x 4 如图 有两个长度相同的滑梯 即 BC EF 左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等 则 度 DFEABC 解答题 一 如图 已知抛物线与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于 C 点 1 求此抛物线的解析式 2 抛物线上有一点 P 满足 PBC 90 求点 P 的坐标 3 在 2 的条件下 问在 y 轴上是否存在点 E 使得以 A O E 为顶点的三角形与 PBC 相似 若存 在 求出点 E 的坐标 若不存在 请说明 3 2 6 AB C D E F 浙基教育武义校区 1 对 1 个性化教学 好老师 好成绩 更自信 杭州浙基教育武义温泉路校区 TEL 0579 87958882 ADD 武义县温泉路金鼎大厦二楼东 侧 8 网 址 邮箱 zhejiedu07 新浪博客 二 如图 在平面直角坐标系中 点 30 C 点 AB 分别在 x轴 y轴的正半轴上 且满足 2310OBA 1 求点 A 点 B的坐标 2 若点 P从 C点出发 以每秒 1 个单位的速度沿射线 C运动 连结 AP 设 的面积为 S 点 P的运动时间 为 t秒 求 S与 t的函数关系式 并写出自变量的取值范围 3 在 2 的条件下 是否存在点 P 使以点 P 为顶点的三角形与 相似 若存在 请直接写出点 的 坐标 若不存在 请说明理由 三 在 ABC 中 A 90 AB 4 AC 3 M 是 AB 上的动点 不与 A B 重合 过 M 点作 MN BC 交 AC 于点 N 以 MN 为直径作 O 并在 O 内作内接矩形 AMPN 令 AM x 1 用含 x 的代数式表示 NP 的面积 S 2 当 x 为何值时 O 与直线 BC 相切 3 在动点 M 的运动过程中 记 NP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y 试求 y 关于 x 的函数表达式 并求 x 为何值时 y 的值最大 最大值是多少 yxAOCB A B C M N P O 浙基教育武义校区 1 对 1 个性化教学 好老师 好成绩 更自信 杭州浙基教育武义温泉路校区 TEL 0579 87958882 ADD 武义县温泉路金鼎大厦二楼东 侧 9 网 址 邮箱 zhejiedu07 新浪博客 y xE Q PC B O A 四 已知抛物线 经过 及原点 2yaxbc 53 02PE 0 O 1 求抛物线的解析式 2 过 点作平行于 轴的直线 交 轴于 点 在抛物线对称轴右侧且位于直线 下方的抛物线上 任取一点PCy PC 过点 作直线 平行于 轴交 轴于 点 交直线 于 点 直线 与直线 及两坐标轴围成矩QAyxAPCBQA 形 是否存在点 使得 与 相似 若存在 求出 点的坐标 若不存在 说明理由 OBCQOP Q 3 如果符合 2 中的 点在 轴的上方 连结 矩形 内的四个三角形xO 之间存在怎样的关系 为什么 PA 浙基教育武义校区 1 对 1 个性化教学 好老师 好成绩 更自信 杭州浙基教育武义温泉路校区 TEL 0579 87958882 ADD 武义县温泉路金鼎大厦二楼东 侧 10 网 址 邮箱 zhejiedu07 新浪博客 五 在平面直角坐标系中 抛物线经过 O 0 0 A 4 0 B 3 三点 2 1 求此抛物线的解析式 2 以 OA 的中点 M 为圆心 OM 长为半径作 M 在 1 中的抛物线上是否存在这样的点 P 过点 P 作 M 的切线 l 且 l 与 x 轴的夹角为 30 若存在 请求出此时点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 注意 本题中的结果可保留根号 浙基教育武义校区 1 对 1 个性化教学 好老师 好成绩 更自信 杭州浙基教育武义温泉路校区 TEL 0579 87958882 ADD 武义县温泉路金鼎大厦二楼东 侧 11 网 址 邮箱 zhejiedu07 新浪博客 练习题 一 如图 9 已知抛物线 y 12x2 2x 1 的顶点为 P A 为抛物线与 y 轴的交点 过 A 与 y 轴垂直的直线与抛物线的另一交 点为 B 与抛物线对称轴交于点 O 过点 B 和 P 的直线 l 交 y 轴于点 C 连结 O C 将 ACO 沿 O C 翻折后 点 A 落在 点 D 的位置 1 求直线 l 的函数解析式 2 求点 D 的坐标 3 抛物线上是否存在点 Q 使得 S DQC S DPB 若存在 求出所有符合条件的点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 图 9 浙基教育武义校区 1 对 1 个性化教学 好老师 好成绩 更自信 杭州浙基教育武义温泉路校区 TEL 0579 87958882 ADD 武义县温泉路金鼎大厦二楼东 侧 12 网 址 邮箱 zhejiedu07 新浪博客 二 如图 12 1 过 ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线 外侧两条直线之间的距离叫 ABC 的 水平宽 a 中间的这条直线在 ABC 内部线段的长度 AD 叫 ABC 的 铅垂高 h 我们可得出一种计算三角形面积的新方 法 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 ahSABC21 解答下列问题 如图 12 2 抛物线顶点坐标为点 C 1 4 交 x 轴于点 A 3 0 交 y 轴于点 B 1 求抛物线和直线 AB 的解析式 2 点 P 是抛物线 在第一象限内 上的一个动点 连结 PA PB 当 P 点运动到顶点 C 时 求 CAB 的铅垂高 CD 及 CABS 3 是否存在一点 P 使 S PAB S CAB 若存在 求出 P 点的坐标 若不存在 请说明理由 89 12 2 x C O y A B D 1 1 浙基教育武义校区 1 对 1 个性化教学 好老师 好成绩 更自信 杭州浙基教育武义温泉路校区 TEL 0579 87958882 ADD 武义县温泉路金鼎大厦二楼东 侧 13 网 址 邮箱 zhejiedu07 新浪博客 三 如图 在平面直角坐标系中 是直角三角形 点 的坐标分别为 ABC 90ACB C 30 A 1 C 3tan4BAC 1 求过点 的直线的函数表达式 点 30 1 3 94yx 2 在 轴上找一点 连接 使得 与 相似 不包括全等 并求点 的坐标 xDBAD BC D 3 在 2 的条件下 如 分别是 和 上的动点 连接 设 问是否存在这样的 使得PQ PQAm m 与 相似 如存在 请求出 的值 如不存在 请说明理由 APQ B m A CO B x y