《线性代数》复习资料.docx

线性代数复习资料课程名称线性代数教材信息（自建学习中心使用）名称线性代数出版社清华大学出版社、北京交通大学出版社作者刘光旭 苏钰晴 编著版次2014年4月第1版此教材用于自建学习中心（此版标注教材页码请见红色字体页码）教材信息（奥鹏学习中心使用）名称线性代数出版社中国人民大学出版社作者赵树嫄 主编版次2013年1月第4版此教材用于奥鹏学习中心（此版标注教材页码请见蓝色字体页码）一 客观题（一） 选择题1. 行列式 的充分必要条件是（ ）. （选 . 需先将行列式算出 ) 知识点参看第1章P16 第1章P12. 若 则必须满足（ ）. （选 . 需先将行列式算出 ) 知识点参看第1章P16 第1章P13. 已知行列式 则 （选 . 需先将行列式算出) 知识点参看第1章P16 第1章P14. 行列式 的充分必要条件是（ ）. （选 . 需先将行列式算出) 知识点参看第1章P16 第1章P15. （A） 0. ( B ) ( C ) ( D ) （选 . 需先将行列式算出) 知识点参看第1章P16 第1章P16. 设两两互不相同，则行列式 的充分必要条件是（答案：选 .）知识点参看第1章P16 第1章P17. 如果线性方程组为不等于零的常数）有唯一解，则 必须满足（ ）. (A) (B) 或 (C) 或 (D) 且 （选）知识点参看第3章P83 第3章P1098. 乘积 （选 . 按矩阵乘法定义计算 ) 知识点参看第2章P57 第2章P519. 若, 都是三阶可逆矩阵，则下列结论不一定正确的是 ( ). . . . .（选 . 注意：问的是：不一定正确者 ) 知识点参看第2章P53 第2章P6510. 若 能由唯一线性表示，则等于（ ）. 且 任意. （选 C . ）知识点参看第4章P112 第3章P12711. 设向量组能由向量组线性表示，则( ). 当时，向量组A必线性相关 当时，向量组A必线性相关 当时，向量组B必线性相关 当时，向量组B必线性相关（选 . 解法提示：用反证法排除其余三种可能 ) 知识点参看第4章P112 第3章P12712.设为阶方阵，以下结论中成立的是（）若可逆，则矩阵属于特征值的特征向量也是矩阵 的属于特征值的特征向量的特征向量即为方程的全部解若存在属于特征值的个线性无关的特征向量，则与不可能有相同的特征值 （选 ）知识点参看第5章P130 第4章P168 13. 阶方阵具有个不同的特征值是与对角矩阵相似的 充分必要条件 充分而非必要条件必要而非充分条件 既非充分也非必要条件（选 . ）知识点参看第6章P150 第4章P16814. 设,均为阶矩阵，且与合同，则（ ）.与相似 与有相同的特征值 （选）知识点参看第6章P150 第4章P16815. 若 是5阶行列式中带有正号的一项, 则的值应为（ ）. （选C.）知识点参看第1章P16 第1章P116. 设是阶行列式, 则下列各式中正确的是（ ）. （选B. 解法提示：根据行列式展开定理知选B. 它是行列式按第列展开的公式. ）知识点参看第1章P16 第1章P1（二） 判断题( 对的, 在后面的括号内打”V”, 错的，打”X”）17. 方程的解为（ ）（解法提示：展开后解方程）知识点参看第1章P16 第1章P118. 行列式 的值等于 （ ）（解法提示：直接按行列式展开）知识点参看第1章P16 第1章P119. 行列式 （ ）（第1章. 解法提示：正确答案是：）知识点参看第1章P16 第1章P120. 排列32514的逆序数为5. （ ）（第1章 解法提示： 分别计算每个数的逆序，再相加）知识点参看第1章P16 第1章P121. 阶范德蒙行列式的计算公式是： （ ） （解法提示：有公式）知识点参看第1章P16 第1章P122. 其中是的伴随矩阵. （ ） （解法提示：有公式）知识点参看第2章P51 第2章P4923. 关于逆矩阵, 有性质： （ ） （解法提示：有公式）知识点参看第2章P63 第2章P7324. 给定向量组，如果存在数使得 则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关. （ ）（解法提示： 要求不全为零）知识点参看第4章P112 第3章P12725. 设阶方阵满足关系式其中是阶单位矩阵, 则必有关系式 （ ） （解法提示：由知均为可逆矩阵,且与互为逆矩阵, 因而）知识点参看第2章P63 第2章P7326. 设则 （ ） （解法提示：利用矩阵乘法）知识点参看第2章P57 第2章P51二 主观题（三）填空题27. 若为奇数，则行列式的值等于（ ）（答案) 知识点参看第1章P1 第1章P5128. 行列式 等于（ ）. （第1章答案：）知识点参看第1章P16 第1章P129. 齐次线性方程组的解的结构是：齐次线性方程组的通解 =（ ）.（答案：（基础解系的全体线性组合）知识点参看第4章P117 第3章P14030. 矩阵阶的秩有性质：（答案： ）知识点参看第4章第5章 第3章第4章31. 对任意向量和，其模的性质有三角不等式： +（答案： . 有公式）知识点参看第4章 第3章32. 给定实二次型 它对应的实对称矩阵为，则我们可将它写成矩阵形式： （第5章 答案： 利用二次型的矩阵表示）知识点参看第7章P190 第5章P20333. 矩阵方程 的解是. ( 第2 章. 答案： )知识点参看第2章P51 第2章P4934. 设均为阶方阵，且 则 ( 第2 章. 答案： )知识点参看第2章P51 第2章P49（四）计算题35. 求三次方程 的解. 解 36. 设 且试求 的值. (第2 章 )知识点参看第2章P51 第2章P4937. 已知 ，求 解 要求复习时补上省掉的.38. 给定矩阵试求矩阵的秩.解 2.39. 设 求 解 请复习时自己写出）40. 设 求 解 不存在逆矩阵.41. 设 求 其中是的伴随矩阵.42. 设矩阵 矩阵满足其中是的伴随矩阵, 求矩阵.43. 求未知量的值，使，其中（第二章按定义，先列出联立方程组，再解出： 要求会写出过程）知识点参看第2章P51 第2章P4944. 已知, ，其中求矩阵（第二章提示：是交换一、三行的初等矩阵, 矩阵左乘相当于交换10次一、三行的位置，仍为原矩阵. 矩阵右乘 相当于交换 次一、三列的位置. 故当 为奇数时, 为原矩阵交换一、三列后的矩阵, 即；当为偶数时, 为原矩阵. ）知识点参看第2章P51 第2章P4945. 设阶行列式 求 中所有元素的代数余子式之和. （第二章提示: 中所有元素代数余子式,即中的所有元素, 其中是矩阵的伴随矩阵. 而 因此中所有元素的代数余子式之和, 即中的所有元素之和为 )知识点参看第2章P51 第2章P4946. 已知 证明可逆, 并求的逆矩阵. （第二章提示：由已知条件可得 而由可推出可逆，且；即可逆, 且；由得所以 可逆, 且 于是可逆, 且可推出）知识点参看第2章P51 第2章P4947. 已知均为三阶矩阵, 且满足 其中是三阶单位矩阵. 试证明矩阵可逆. 若已给求出矩阵)48. 已知方程组 无解，试求 的值. （第3 章 按定义，列出联立方程组. 然后解方程组. 可求出 要求会写出计算过程）. 知识点参看第3章P83 第3章P10949. 设 若 试求此方程组的通解.（ 解 由于 故所给的线性方程组可改写为 对其增广矩阵作初等行变换，使之化为阶梯形矩阵 当时, 此时可化为矩阵易知 故线性方程组有无穷多解： 其中为任意常数. 当时, 此时可化为矩阵易知 故线性方程组有无穷多解： 其中为两个任意常数.）50. 已知方程组有无穷多解, 试求 的取 值及方程组的解. （第3 章 答案： 当方程组的通解为当则方程组的通解为 要说明理由）知识点参看第2章P51 第2章P4951.设都是阶矩阵, 且 求矩阵的秩.（第4 章 答案：=）知识点参看第6章P150 第4章P16852. 已知向量组与向量组 有相同的秩，且可由 线性表出，求 的值. （第4 章 ）知识点参看第4章P107 第4章P16853. 已知是齐次线性方程组的基础解系, 其中 = 求的值. （第4 章 答案：因为是矩阵, 基础解系中仅有一个解向量, 故即 而可见）知识点参看第4章P107 第4章P16854. 已知矩阵= 中且齐次线性方程组有非 零解. 是的伴随矩阵, 试求齐次方程组 的通解.（第4 章 答案：因齐次方程有非零解, 故于是 或 因故取 因 所以于是齐次方程组有 又因, 所以矩阵的列向量是齐次方程组 的解. 故 的通解为 ）知识点参看第4章P107 第4章P16855. 设是矩阵, 秩 若线性相关, 且可以表示齐次线性方程组的任一解, 求的基础解系. （第4章 答案：因设是矩阵, 秩所以的基础解系有 个解向量. 由此知向量组的秩为3, 且其最大线性无关组就是的基础解系. 对矩阵 施行初等变换得, 当且仅当或1 时，向量组的秩为3, 从而推出是的基础解系.）知识点参看第4章P107 第4章P16856. 已知向量组（I） 与向量组（II） 等价， 求的值.（第4章 答案 解法提示：由于只需考察,与的互相线性表出问题. 作初等变换： 方程组有解即（II）可由( I ) 线性表出的充分必要条件是 反之，当时, 方程组与均有解, 说明(I )可由(II )线性表出, 所以(I )与(II )等价时, )知识点参看第4章P107 第4章P168（五）证明题57. 若已知 其中 .求证其逆矩阵（证 因为 所以存在. 又 所以 ）58. 证明线性方程组 无解 （ 证 方程组的增广矩阵为对施行适当的初等行变换，将其化成阶梯形矩阵，即会求出与的秩，从而知故方程组无解.）59. 试证明向量 可以用向量线性表示，并写出表示式. （证 按定义，设存在数使得成立. 为此，应解如下线性方程组 容易求得此方程组的唯一解为故有 ）60. 证明是正定二次型. (证 因二次型的矩阵为会写出的各顺序主子式，并验证皆大于零.故由赫尔维茨定理知 是一个正定二次型. )61. 设 是阶矩阵, 如果 证明矩阵的列向量线性无关. (第4章 答案：可用反证法. 若存在不全为零的数 使得然后，设,显然 由知 可以由其余个 线性表出，且 那么, 其第个分量就满足关系式：从而有. 这与已知条件矛盾, 所以 线性无关. )62. 设是阶矩阵, 是齐次方程组的基础解系, 若存在, 使, 证明向量组 , 线性无关. (第4章 答：若存在不全为零的数 使得 （1）用左乘上式, 并把代入, 得 （2）因是齐次方程组的基础解系, 它们线性无关, 故对（2）必有 （1）式, 有即向量, 线性无关. )63. 设是矩阵,对矩阵做初等行变换得到矩阵证明矩 阵的列向量与矩阵相应的列向量有相同的线性相关性. (第4章 证法提示： 因经初等行变换由可得到, 故存在初等矩阵使把矩阵,写成列向量形式： 则有 于是的列向量线性相关有非零解有非零解有非零解的列向量线性相关.）64. 已知是阶矩阵, 且矩阵中各行元素对应成比例. 是的基础解系, 而不是的解. 证明任何一个维向量都可由,线性表出. (第4章 答案提示：因为矩阵中各行元素对应成比例, 故 因此因为是的基础解系,故 线性无关. 若 用左乘, 并把）代入上式, 得 = 由于 故 于是从而即有 线性无关，故知任一维向量 必可由,线性表出.)65. 已知向量组线性无关, 若 ， 其中至少有, 证明用替换后所得向量组 ，,线性无关. (第4章 答案提示：如果将已知条件代入, 并整理有+ 由于已知向量组线性无关, 故必有 ，= 0，, 由于, 知, 进而必有所以向量组，,线性无关.)16 / 16