抛物线的标准方程与几何性质.ppt

抛物线标准方程及几何性质 问题情境 抛物线的生活实例 抛球运动 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 一 定义 定点F叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 二 标准方程的推导 步骤 1 建系 2 设点 3 列式 4 化简 5 证明 想一想 回忆一下 看看上面的方程哪一种简单 为什么会简单 启发我们怎样建立坐标系 学生活动 1 标准方程的推导 K 设 KF p 设点M的坐标为 x y 由定义可知 取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴 线段KF的中垂线为y轴 其中p为正常数 它的几何意义是 焦点到准线的距离 2 抛物线的标准方程 构建数学 一条抛物线 由于它在坐标平面内的位置不同 方程也不同 所以抛物线的标准方程还有其它形式 构建数学 准线方程 焦点坐标 标准方程 焦点位置 图形 三 四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的正半轴上 x轴的负半轴上 y轴的正半轴上 y轴的负半轴上 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py F 想一想 第一 一次项的变量如为X 或Y 则X轴 或Y轴 为抛物线的对称轴 焦点就在对称轴上 第二 一次的系数的正负决定了开口方向 2 如何判断抛物线的焦点位置 开口方向 3 我们以前学习的抛物线和现在学习的抛物线的标准方程有什么联系 结合抛物线y2 2px p 0 的标准方程和图形 探索其的几何性质 1 范围 2 对称性 3 顶点 类比椭圆 双曲线如何探索抛物线的几何性质 x 0 y R 关于x轴对称 对称轴又叫抛物线的轴 抛物线和它的轴的交点 4 离心率 5 焦半径 6 通径 e 1 通过焦点且垂直对称轴的直线 与抛物线相交于两点 连接这两点的线段叫做抛物线的通径 PF x0 p 2 F P 通径的长度 2P y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 0 0 0 0 0 0 0 0 例1 1 已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 2 已知抛物线的方程是y 6x2 求它的焦点坐标和准线方程 3 已知抛物线的焦点坐标是F 0 2 求它的标准方程 数学应用 解 方程可化为 故焦点坐标为 准线方程为 1 根据下列条件 写出抛物线的标准方程 1 焦点是F 3 0 2 准线方程是x 3 焦点到准线的距离是2 y2 12x y2 x y2 4x y2 4x x2 4y或x2 4y 练习1 2 已知抛物线的标准方程是 1 y2 12x 2 y 12x2求它们的焦点坐标和准线方程 2 先化为标准方程 焦点坐标是 0 准线方程是y 练习1 数学应用 例2 求过点A 3 2 的抛物线的标准方程 解 当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时 把A 3 2 代入x2 2py 得p 当焦点在x轴的负半轴上时 把A 3 2 代入y2 2px 得p 抛物线的标准方程为x2 y或y2 x 已知抛物线经过点P 4 2 求抛物线的标准方程 提示 注意到P为第四象限的点 所以可以设抛物线的标准方程为y2 2px或x2 2py 练习2 例3 点M与点F 4 0 的距离比它到直线l x 5 0的距离小1 求点M的轨迹方程 如图可知原条件等价于M点到F 4 0 和到x 4距离相等 由抛物线的定义 点M的轨迹是以F 4 0 为焦点 x 4为准线的抛物线 因为p 2 4 所以p 8 所求方程是y2 16x 分析 数学应用 1 M是抛物线y2 2px P 0 上一点 若点M的横坐标为X0 则点M到焦点的距离是 练习3 2 抛物线y2 2px p 0 上一点M到焦点的距离是a a 则点M到准线的距离是 点M的横坐标是 a a 3 抛物线y2 12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是 例4 斜率为1的直线经过抛物线y2 4x的焦点 与抛物线相交于两点A B 求线段AB的长 数学应用 分析1 直线与抛物线相交问题 可联立方程组求交点坐标 由距离公式求 或不求交点 直接用弦长公式求 将x1 x2 x1x2的值分别代入弦长公式 分析2 直线恰好过焦点 可与抛物线定义发生联系 利用抛物线定义将AB转化成A B间的焦点弦 两个焦半径的和 从而达到求解目的 同理 于是得 AB AF BF x1 x2 2 于是 AB 6 2 8 解法二 在图8 22中 由抛物线的定义可知 AF 说明 解法二由于灵活运用了抛物线的定义 所以减少了运算量 提高了解题效率 例5 求证 以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 A1 B1 例题讲解 F 例6 在抛物线y2 2x上求一点P 使P到焦点F与到点A 3 2 的距离之和最小 例题讲解 1 直线与抛物线只有一个公共点是它们相切的 A 充分但不必要条件B 必要但不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3 过抛物线y2 2px的焦点F的诸弦中 最短的弦长是 课堂练习4 B 2p C 小结 1 抛物线的定义 标准方程类型与图象的对应关系以及判断方法 2 抛物线的定义 标准方程和它的焦点 准线方程 3 求标准方程常用方法 1 用定义 2 用待定系数法 课堂新授 本节主要学习内容 4 直线与抛物线的位置关系 注意焦半径 焦点弦的应用 到焦点和到准线的线段的转化 再见 椭圆 双曲线的第二定义 与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹 2 当e 1时 是双曲线 1 当0 e 1时 是椭圆 复习