希尔伯特空间中的规范正交系.ppt

3希尔伯特空间中的规范正交系 一规范正交系 主要内容 二傅里叶系数 三完全规范正交系 四Hilbert空间的同构 一规范正交系 其中 并且向量的长度 例1为维欧氏空间 则向量集 为中规范正交系 其中 例2在空间中 定义内积为 则三角函数系 正交系的基本性质 1 对正交系中任意有限个向量 有 事实上 由于中向量两两正交 所以 2 正交系是中线性无关子集 定义2设是赋范线性空间 是中的一列向量 是一列数 作级数 称为级数 3 的项部分和 若存在 使 则称级数 3 收敛 并称为级数的和 记为 若为中规范正交系 是 中有限或可数个向量 且 则对每个 自然数 由内积连续性 可得 所以 二傅里叶系数 所以内积空间中向量关于规范正交系 的傅里叶系数实际上是数学分析中傅里 叶系数概念的推广 傅里叶系数的性质 引理1设是内积空间 是中规范正 交系 任取中有限个向量 则有 其中为任意个数 证明因对任意个数 有 令 代入上式即得 1 另一方面 由上式及结论 1 又有 由此知 2 成立 证明如果中只有有限个向量 则由引 理1的 1 立即可得 当可数时 只要在引理 1的 1 中令 则可得 4 式 2 若 则 故 3 对任何 级数收敛 2 前已证明 证明因对 级数 收敛 所以 下面讨论一般规范正交系的Bessel不等式 的指标至多只有可数个 至多为可数集 由此可以形式地作级数 其中和式理解成对所有使的指标 相加 因此Bessel不等式可以写成 三完全规范正交系 定义4设是内积空间中的规范正交系 如果 则称是中的完全规范正交系 完全规范正交系类似于维欧式空间中的 标准正交基 定理3是Hilbert空间中完全规范正交系 的充要条件为对所有 成立Parseval等式 证明充分性设Parseval等式对所有 成立 假设不完全 由定理2 存在 所以对任何 有 由于对该 有Parseval等式 所以 即 这与矛盾 必要性设是中完全规范正交系 对任何 设其非零傅里叶系数为 由引理2 级数收敛 设其和为 则对任何正整数 有 又对中一切使的向量 有 因此 由的完全性 得到 即 所以 由此得到 即Parseval等式成立 所以 从而 由于是闭线性子空间 引理3设是内积空间中有限 或可数个线性无关向量 则必有中规范正交系 使对任何正整数 有 证明令 则 且 令 因为线性无关 所以 且 令 则 且 显然 如果已作了 其中 并且两两正交 满足 现令 由线性无关 知 如此一直作下去 即可得所要的规范正交系 是向量在空间上的投影 所以 由张成的线性空间包含 因此 即是中完全规范正交系 证毕 则称和同构 并称为到上同构映射 四Hilbert空间的同构