数学基础-拉氏变换.ppt

1 自动控制原理 数学基础 拉普拉斯变换 刘宝liubao 2 1 拉普拉斯变换的定义 1 1复变量和复变函数一个复数包括实部和虚部 如果实部和虚部都是变量 则称其为复变量 在拉氏变换中 复变量用符号s表示 表示 一个复变函数F s 是s的函数 它具有实部和虚部 3 幅值 如果在某一域内 复变函数F s 及其所有阶导数都存在 则称该复变函数F s 在该域内是解析的 相角 角度从实轴开始 沿逆时针计算 4 在s平面上 使函数F s 解析的点称为正常点 使F s 为非解析的点称为奇点使F s 及其导数趋于无穷大的奇点称为极点使F s 0的点叫做零点 且p1为2阶极点 极点为 例如 零点为 5 1 2拉普拉斯变换的定义 若f t 是时间t的函数 且t 0时 f t 0 s是复变量 则f t 的拉氏变换F s 定义为 6 1 3常用函数的拉氏变换 1 求阶跃函数f t A 1 t 的拉氏变换 单位阶跃函数f t 1 t 的拉氏变换为 2 求单位脉冲函数f t t 的拉氏变换 7 3 求指数函数f t 的拉氏变换 几个重要函数的拉氏变换 8 3 拉氏变换性质 设的拉氏变换为 3 1线性性质原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和 9 3 3微分定理 10 3 4初值定理 原函数的初值等于其象函数乘以s的自变量s趋向无穷大时的极限值 11 3 6延迟定理 3 7与相乘 12 4 拉普拉斯反变换 4 1求拉普拉斯变换的展开式 拉氏变换常以如下形式出现 如果F s 被分解成下列分量 并且F1 s F2 s Fn s 的拉普拉斯反变换可以容易得到 则 13 4 2只包含不同极点的部分分式展开 考虑下列因式形式的F s 如果F s 只包含不同的极点 则F s 可展开成为下列简单的部分分式之和 系数ak叫做极点s pk上的留数 留数ak可由下式决定 14 例1 求函数F s 的拉氏逆变换 解 该式可以分解为如下形式 其中 15 所以 其对应的拉氏逆变换为 16 例2 17 4 3包含多重极点的F s 部分展开 通过例子说明 F s 的部分展开式包括三项 式中b1 b2 b3可确定如下 18 所以 其拉氏逆变换为 19 练习 函数f t 的图形如下 求其拉氏变换F s