高考数学复习 第六章 第三节 等比数列及其前n项和课件 文.ppt

第三节等比数列及其前n项和 知识点一等比数列的概念 1 等比数列的定义 1 条件 一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比等于 2 公比 是指常数 通常用字母q表示 q 0 同一 个常数 若等比数列 an 的首项是a1 公比是q 则其通项公式为 n N 推广式 an amqn m n m N 2 等比数列的通项公式 3 等比中项 如果 成等比数列 那么G叫做a与b的等比中项 即G是a与b的等比中项 a G b成等比数列 an a1qn 1 a G b G2 a b 知识点二等比数列的前n项和及性质 1 等比数列的前n项和公式 2 等比数列的性质 na1 已知数列 an 是等比数列 Sn是其前n项和 1 若m n p q 2r 则am an 2 数列am am k am 2k am 3k 仍是等比数列 3 数列Sm S2m Sm S3m S2m 仍是等比数列 此时 an 的公比q 1 名师助学 本部分知识可以归纳为 1 三个定义 等比数列的定义 等比中项的定义 等比数列的通项公式 2 两种方法 证明数列是等比数列的两种方法 定义法 等比中项法 方法1等比数列的性质的应用 1 等比数列的单调性设等比数列 an 的首项为a1 公比为q 1 当q 1 a1 0或01 a10时 数列 an 为递减数列 3 当q 1时 数列 an 是 非零 常数列 4 当q 1时 数列 an 是摆动数列 2 等比数列项的运算性质若m n p q m n p q q N 则am an ap aq 1 特别地 当m n 2k m n k N 时 am an a 2 对有穷等比数列 与首末两项 等距离 的两项之积等于末两项的积 即a1 an a2 an 1 ak an k 1 3 等比数列前n项和的性质若Sn是等比数列的前n项和 则当q 1时 Sn S2n Sn S3n S2n 成等比数列 例1 1 已知各项均为正数的等比数列 an 中 a1 a2 a3 5 a7 a8 a9 10 则a4 a5 a6 2 已知等比数列 an 满足an 0 n 1 2 且a5 a2n 5 22n n 3 则log2a1 log2a3 log2a2n 1等于 A n 2n 1 B n 1 2C n2D n 1 2 解题指导 1 已知 等比数列中项之间的关系 1 问中a1a2a3 5 a7 a8 a9 10 2 问中a5 a2n 5 22n 2 分析 通过等比数列的性质 将已知条件进行转化 3 转化 1 问中a1a2a3 a4a5a6 a7a8a9成等比数列 点评 在等比数列的基本运算问题中 一般是列出a1 q满足的方程组 求解方程组 但有时运算量较大 如果可利用等比数列的性质 便可减少运算量 提高解题的速度 要注意挖掘已知和 隐含 的条件 答案 1 A 2 C 方法2等比数列的判定与证明 3 通项公式法 若数列通项公式可写成an c qn c q均是不为0的常数 n N 则 an 是等比数列 4 前n项和公式法 若数列 an 的前n项和Sn k qn k k为常数且k 0 q 0 1 则 an 是等比数列 提醒 前两种方法常用于解答题中 而后两种方法常用于选择 填空题中的判定 例2 设数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 1 Sn 1 4an 2 1 设bn an 1 2an 证明数列 bn 是等比数列 1 证明由a1 1 及Sn 1 4an 2 有a1 a2 4a1 2 a2 3a1 2 5 b1 a2 2a1 3 由Sn 1 4an 2 知当n 2时 有Sn 4an 1 2 得an 1 4an 4an 1 an 1 2an 2 an 2an 1 方法3等差与等比数列的综合问题 1 在等差数列中蕴含等比关系 由等差数列设出数列的项 突出a1 d 利用等比数列列方程求解 同样等比数列中蕴含等差关系也如此解决 2 两个数列 一个是等差数列 另一个是等比数列 要找到它们之间的联系 来解决实际问题 3 解题时适当利用性质转化条件可简化运算 4 挖掘隐含条件 发现等差 或等比 关系 使解题目的明确 例3 成等差数列的三个正数的和等于15 并且这三个数分别加 上2 5 13后成为等比数列 bn 中的b3 b4 b5 1 求数列 bn 的通项公式 解题指导 设等差数列的三个正数 利用等比数列的性质解出公差d 从而求出数列 bn 的首项 公比 利用等比数列的定义可解决第 2 问 答题模板 求解等差和等比数列综合性问题的一般步骤 第一步 设等比数列 等差数列的基本量 第二步 根据条件列方程 解出基本量 第三步 根据公式求通项或前n项和 第四步 根据定义证明等差 等比数列 对于等比数列 一定要说明首项非零 温馨提醒 关于等差 比 数列的基本运算 其实质就是解方程或方程组 需要认真计算 灵活处理已知条件 容易出现的问题主要有两个方面 一是计算出现失误 特别是利用因式分解求解方程的根时 不注意对根的符号进行判断 二是不能灵活运用等差 比 数列的基本性质转化已知条件 导致列出的方程或方程组较为复杂 增大运算量