拉普拉斯定理-行列式乘法.ppt

一 k级子式余子式代数余子式 二 拉普拉斯 Laplace 定理 8拉普拉斯定理 行列式乘法法则 三 行列式乘法法则 第二章行列式 8拉普拉斯定理行列式乘法法则 一 k级子式与余子式 代数余子式 定义 在一个n级行列式D中任意选定k行k列 按照原来次序组成一个k级行列式M 称为行列 位于这些行和列的交叉点上的个元素 式D的一个k级子式 在D中划去这k行k列后 式 称为k级子式M的余子式 余下的元素按照原来的次序组成的级行列 第二章行列式 8拉普拉斯定理行列式乘法法则 若k级子式M在D中所在的行 列指标分别是 则在M的余子式前 余子式 记为 注 k级子式不是唯一的 任一n级行列式有个k级子式 时 D本身为一个n级子式 第二章行列式 8拉普拉斯定理行列式乘法法则 例1 四阶行列式 选定1 3行 2 4列的一个二级子式M M的余子式和代数余子式分别为 第二章行列式 8拉普拉斯定理行列式乘法法则 例2 五阶行列式 中 与 是一对互余的子式 第二章行列式 8拉普拉斯定理行列式乘法法则 二 拉普拉斯 Laplace 定理 引理 行列式D的任一子式M与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中 的一项 而且符号也一致 第二章行列式 8拉普拉斯定理行列式乘法法则 Laplace定理 由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的 设在行列式D中任意取k 行 代数余子式的乘积和等于D 即 若D中取定k行后 由这k行得到的k级子式 则 第二章行列式 8拉普拉斯定理行列式乘法法则 时 即为行列式D按某行展开 注 为行列式D取定前k行运用Laplace定理结果 第二章行列式 8拉普拉斯定理行列式乘法法则 例对于四阶行列式 选定2 3行得子式和代数余子式分别为 第二章行列式 8拉普拉斯定理行列式乘法法则 第二章行列式 8拉普拉斯定理行列式乘法法则 例3 计算行列式 解 选定一二行得六个子式 第二章行列式 8拉普拉斯定理行列式乘法法则 它们的代数余子式为 第二章行列式 8拉普拉斯定理行列式乘法法则 三 行列式乘法法则 设有两个n级行列式 其中 则 第二章行列式 8拉普拉斯定理行列式乘法法则 证 作一个2n级的行列式 由拉普拉斯定理 第二章行列式 8拉普拉斯定理行列式乘法法则 第二章行列式 8拉普拉斯定理行列式乘法法则 又对D作初等行变换 可得 这里 第二章行列式 8拉普拉斯定理行列式乘法法则 从而