高考数学一轮总复习 第三章 三角函数与解三角形 第8讲 解三角形应用举例课件 文.ppt

第8讲解三角形应用举例 1 解三角形的常见类型及解法 在三角形的6个元素中要已知三个 除三个角外 才能求解 常见类型及其解法如下表所示 续表 2 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题 高度问题 角度问题 计算面积问题 航 海问题等 3 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线上方叫仰角 目标视线在水平视线下方叫俯角 如图3 8 1 1 图3 8 1 2 方向角 相对于某正方向的水平角 如南偏东30 北偏西45 等 3 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如B点的 方位角为 如图3 8 1 2 4 坡度 坡面与水平面所成的二面角的度数 1 若点A在点B的北偏西30 则点B在点A的 A 北偏西30 C 南偏东30 B 北偏西60 D 东偏南30 解析 如图D15 点B在点A的南偏东30 图D15 C 2 如图3 8 2 某河段的两岸可视为平行 在河段的一岸边选取两点A B 观察对岸的点C 测得 CAB 75 CBA A 45 且AB 200m 则A C两点的距离为 图3 8 2 3 江岸边有一炮台高30m 江中有两条船 由炮台顶部测得俯角分别为45 和30 且两条船与炮台底部连线成30 角 则两条船相距 解析 如图D16 过炮台顶点A作水平面的垂线 垂足为B 设A处测得船D的俯角为30 连接BC BD 在Rt ABC中 ACB 45 则AB BC 30m 在Rt ABD中 ADB 30 30 m CBD 30 由余弦定理 得 CD2 BC2 BD2 2BC BD cos CBD 900 2700 2 30 900 CD 30m 答案 D 图D16 4 一船向正北航行 看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上 继续航行半小时后 看见一灯塔在船的南偏西60 另一灯塔在船的南偏西75 则这艘船的 速度是 A 5海里 时 B 5 海里 时 C 10海里 时 D 10 海里 时 图D17答案 C 考点1测量距离问题例1 2014年四川 如图3 8 3 从气球A上测得正前方的河流的两岸B C的俯角分别为75 30 此时气球的高是 60m 则河流的宽度BC 图3 8 3 答案 C 规律方法 1 利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中 建立一个解三角形的模型 2 利用正弦 余弦定理解出所需要的边和角 求得该数学模型的解 互动探究 1 在相距2km的A B两点处测量目标C 若A 75 B 60 则A C两点之间的距离为 km 考点2 测量高度问题 例2 1 2015年湖北 如图3 8 4 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30 的方向上 行驶600m后到达B处 测得此山顶在西偏北75 的方向上 仰角为30 则此山的高度CD m 图3 8 4 2 2014年新课标 如图3 8 5 为测量山高MN 选择点A和另一座山的山顶C为测量观测点 从点A测得点M的仰角为 MAN 60 点C的仰角为 CAB 45 以及 MAC 75 从点C测得 MCA 60 已知山高BC 100m 则山高 MN m 图3 8 5 答案 150 规律方法 1 测量高度时 要准确理解仰角 俯角的 概念 2 分清已知量和待求量 分析 画出 示意图 明确在哪个 三角形内运用正弦或余弦定理 互动探究 2 在200m高的山顶上 测得山下一塔顶和塔底的俯角分 别是30 60 则塔高为 m 解析 如图D18 由已知可得 BAC 30 CAD 30 BCA 60 ACD 30 ADC 120 又AB 200m AC 在 ACD中 由余弦定理 得AC2 2CD2 2CD2 cos120 3CD2 图D18 考点3 测量角度问题 例3 如图3 8 6 渔船甲位于岛屿A的南偏西60 方向的B处 且与岛屿A相距12海里 渔船乙以10海里 时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行 若渔船甲同时从B处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙 刚好用2小时追上 1 求渔船甲的速度 2 求sin 的值 图3 8 6 14 海里 时 解 1 依题意 得 BAC 120 AB 12 AC 10 2 20 海里 BCA 在 ABC中 由余弦定理 得BC2 AB2 AC2 2AB AC cos BAC 122 202 2 12 20 cos120 784 解得BC 28 故渔船甲的速度为 BC2 答 渔船甲的速度为14海里 时 2 在 ABC中 AB 12 BAC 120 BC 28 BCA 规律方法 关于角度的问题同样需要在三角形中进行 同时要理解实际问题中常用角的概念 仰角和俯角 方向角 方位角 坡度等 互动探究 3 两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等 灯塔A在观察站北偏东40 灯塔B在观察站南偏东60 则灯塔A 在灯塔B的 B A 北偏东10 C 南偏东10 B 北偏西10 D 南偏西10 难点突破 三角函数在解三角形中的应用 例题 2014年新课标 四边形ABCD的内角A与C互补 AB 1 BC 3 CD DA 2 1 求角C和BD 2 求四边形ABCD的面积 解 1 由题设及余弦定理 得 BD2 BC2 CD2 2BC CDcosC 13 12cosC BD2 AB2 DA2 2AB DAcosA 5 4cosC 规律方法 本题与某年北京高考题几乎完全相同 请思考 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB 2 BC 6 CD DA 4 求四边形ABCD的面积 解 如图3 8 7 连接BD 则有四边形ABCD的面积 图3 8 7 1 运用正弦定理 余弦定理与三角形面积公式可以求有关三角形的边 角 外接圆半径 面积的值或范围等基本问题 2 本节的难点是三角形形状的判断与三角形实际应用问题的解决 主要是学生看不到问题的本质 受到许多非本质问题的干扰 要加强将实际问题转化为数学问题的能力的训练