随机变量及其分布函数.ppt

1 2 1随机变量及其分布函数 一 随机变量二 分布函数 2 一 随机变量 例1抛一枚硬币 观察正面 1 反面 2出现的情况 样本空间 1 2 引入一个定义在 上的函数X 由于试验结果的出现是随机的 因此X 的取值也是随机的 3 例2从包含两件次品 a1 a2 和三件正品 b1 b2 b3 的五件产品中任意取出两件 以X表示抽取的两件产品中包含的次品个数 则X是定义在 上的一个函数 样本空间为 即X X a1 a2 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a2 b1 a2 b2 a2 b3 b1 b2 b1 b3 b2 b3 4 具体写出这个函数如下 X取什么值依赖于试验结果 即X的取值带有随机性 5 在实际问题中 随机试验的结果可以用数量来表示 由此就产生了随机变量的概念 6 1 有些试验结果本身与数值有关 本身就是一个数 例如 掷一颗骰子面上出现的点数 七月份郑州的最高温度 每天从郑州下火车的人数 昆虫的产卵数 7 R 设E是随机试验 是其样本空间 如果对每个 总有唯一的一个实数X 与之对应 则称X 为定义在 上的一个随机变量 定义 随机变量常用X Y或 等表示 X 8 随机变量的特点 1 X的全部可能取值是互斥且完备的 2 X的部分可能取值描述随机事件 9 随机变量与函数变量的比较 函数变量 随机变量 样本空间 实数集 这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗 10 定义了随机变量后 就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件 在例2中 事件 取出的两件产品中没有次品 用 X 0 表示 且概率为 P X 0 0 3 事件 取出的两件产品中至少有一件次品 用 X 1 表示 且概率为 P X 1 0 7 11 例如 从某一学校随机选一学生 测量他的身高 我们可以把可能的身高看作随机变量X 然后我们可以提出关于X的各种问题 如P X 1 7 P X 1 5 P 1 5 X 1 7 12 例3在约会问题中 样本空间为 设X表示甲到达约定地点的时刻 则X为随机变量 试求 对于给定的实数a 事件的概率 13 则 14 有了随机变量 随机试验中的各种事件 就可以通过随机变量的关系式表达出来 引入随机变量的意义 如 单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示 它是一个随机变量 事件 收到不少于1次呼叫 X1 没有收到呼叫 X 0 15 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件 引入随机变量后 对随机现象统计规律的研究 就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究 事件及事件概率 随机变量及其取值规律 16 二 分布函数 对随机变量的概率分布情况进行刻画 定义 设X是一随机变量 称函数F x P X x x 为X的分布函数 x X 显然 有 0 F x 1 17 X 且 X x1 X x2 故 P x1 X x2 P X x2 P X x1 另 P x1 X x2 F x2 F x1 x1 x2 x1 X x2 X x2 X x1 F x2 F x1 18 1 F x 是x的不减函数 即若x1 x2 则F x1 F x2 2 理解 当x 时 X x 越接近于必然事件 性质 19 3 右连续性 对任意实数x 具有上述三个性质的实函数必是某随机变量的分布函数 该三个性质是分布函数的充分必要性质 20 例4设一个箱子中有依次标有 1 2 2 3数字的4个乒乓球 从中任取一个乒乓球 记随机变量X为取得的乒乓球上标有的数字 求X的分布函数 并分别求解可能取的值为 1 2 3 由古典概率的计算公式 可知取这些值的概率依次为0 25 0 5 0 25 当x 1时 X x 是不可能事件 因此F x 0当 1 x 2时 X x 等同于 X 1 因此F x 0 25 21 当2 x 3时 X x 等同于 X 1或X 2 因此F x 0 25 0 5 0 75当3 x时 X x 是必然事件 因此F x 1 综合起来 F x 的表达式为 22 分布函数F x 的图像如下 23 小结 1 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的 因此为了方便有力的研究随机现象 就需将随机事件数量化 把一些非数量表示的随机事件用数字表示时 就建立起了随机变量的概念 因此随机变量是定义在样本空间上的一种特殊函数 2 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况 它完整描述了随机变量的统计特性