高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.4.1 曲线与方程课件 北师大版选修2-1.ppt

4曲线与方程4 1曲线与方程 学课前预习学案 某森林公园修建连接东 西两座高山的索道 两端挂起的缆线自然下垂近似成拋物线形 缆线两端各离地面100m 两端间的水平距离为400m 现某人乘坐的空中客运缆车行走100m处的高度为70m 那么 缆线的中点 即拋物线顶点 最低处距地面的高度是多少呢 方程的曲线与曲线的方程在平面直角坐标系中 如果某曲线C 看作满足某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个 的实数解建立了如下的关系 1 都是这个方程的解 2 的点都在曲线上 那么这条曲线叫作方程的曲线 这个方程叫作曲线的方程 二元方程 曲线上点的坐标 以这个方程的解为坐标 强化拓展 1 定义中两个条件是轨迹的性质的体现 条件 曲线上点的坐标都是这个方程的解 它的含义是曲线上没有坐标不适合方程的点 也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而毫无例外 这通常称之为轨迹的纯粹性 而条件 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 它的含义是符合条件的点都在曲线上而毫无遗漏 这通常称之为轨迹的完备性 二者缺一不可 2 如果曲线C的方程是f x y 0 那么点P x0 y0 在曲线C上的充要条件是f x0 y0 0 3 求曲线的方程的一般步骤 建系 建立适当的坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任意一点M的坐标 分析 写出适合条件P的点M的集合P M P M 翻译 用坐标表示条件P M 列出方程f x y 0 化简 化方程f x y 0为最简形式 证明 说明以化简后的解为坐标的点都在曲线上 解析 考察每一组曲线方程中x和y的取值范围 不难发现A B C中各对曲线的x与y的取值范围不一致 故选D 答案 D 2 方程x2 xy x 0表示的曲线是 A 一个点B 一条直线C 两条直线D 一个点和一条直线解析 方程化为x x y 1 0 x 0或x y 1 0 故方程表示两条直线 答案 C 3 到两个坐标轴距离相等的点所满足的方程是 解析 设点的坐标为 x y 则 y x 答案 y x 讲课堂互动讲义 B ABC三个顶点的坐标A 0 3 B 2 0 C 2 0 BC边上的中线方程为x 0C 到x轴距离等于5的点的轨迹方程是y 5D 曲线2x2 3y2 2x m 0过原点的充要条件是m 0 思路导引 可从两个方面来判断 一方面以方程的解为坐标的点是否都在曲线上 另一方面曲线上点的坐标是否都是方程的解 边听边记 在A的方程中要求y 2 因此漏掉 0 2 在B中BC边上的中线是线段x 0 0 y 3 而不是直线x 0 在C中满足条件轨迹为y 5或y 5 对于D 当曲线过原点时 一定有m 0 若m 0 则方程一定过原点 故选D 答案 D 名师妙点 解决这类问题 应该紧扣定义 如果曲线上点的坐标都是方程的解 即 点不比解多 称为纯粹性 如果以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 即 解不比点多 称为完备性 只有点和解一一对应 才能说曲线的方程 方程的曲线 答案 1 D 思路导引 本题可用直接法 也可用定义法 坐标转移法 参数法求解 名师妙点 求曲线轨迹方程的常用方法 1 直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系 即可用求曲线方程的五个步骤直接求解 2 定义法 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义 则可依定义写出轨迹方程 3 代入法 如果动点P x y 依赖于另一动点Q x1 y1 而Q x1 y1 又在某已知曲线上 则可先列出关于x y x1 y1的方程组 利用x y表示x1 y1 把x1 y1代入已知曲线方程即得所求 4 参数法 如果动点P x y 的坐标之间的关系不易找到 可考虑将x y用一个或几个参数来表示 消去参数即得其轨迹方程 5 交轨法 写出动点所满足的两个轨迹方程后 组成方程组消参即可得解 此法常适用于求两动直线交点的轨迹方程 2 过点P 2 4 作两条互相垂直的直线l1 l2 若l1交x轴于A点 l2交y轴于B点 求线段AB的中点M的轨迹方程 解析 方法一 设点M的坐标为 x y 因为M为线段AB的中点 所以A的坐标为 2x 0 B的坐标为 0 2y 当x 1时 因为l1 l2 且l1 l2过点P 2 4 所以kPA kPB 1 过原点作直线l与曲线y x2 4x 6交于A B两点 求线段AB中点M的轨迹方程 错因 这位同学在解题过程中犯的错误是忽视了变量的取值范围 求轨迹方程时 一定要清除 多余 弥补 遗漏 以保证相应轨迹的纯粹性与完备性