数学建模中的模型求解.ppt

数学建模中的模型求解 主讲人 数理系李璐 数据处理规划问题 每年的赛题在变化 方法的使用也有很大的不确定性 但纵观历史赛题 这些赛题又有很多的共性 主要体现在模型的分类上 相同类别的模型其求解方法有很多相似之处 数据处理 数据处理是数学建模的基础 通常遇到的问题是对采集到的数据进行处理和分析 从而得到这些数据所反映的信息 本质是 将数据反映的信息转换为数学表达式 数据量较大时 MATLAB的数据处理优势更加明显 数据量较大时 MATLAB的数据处理优势更加明显 数据处理 趋势分析 数据 函数表达式 2007年电工杯全国数学建模竞赛 供水量数据 最简单 常用的方法 插值和拟合 1 1数据的输入 Excel与MATLAB的交互 记事本与MATLAB的交互 使用MATLAB中的ExcelLink工具插件 使用MATLAB中的load函数 MATLAB中的ExcelLink工具插件 用户可以不脱离Excel环境 在Excel工作表空间和宏编辑工具中使用MATLAB的数值计算和图形处理功能 并且实现两个工作环境的数据交换和同步更新 具体步骤 步骤1 在目录MATLAB toolbox exlink文件夹下找到excllink xla文件 双击 步骤2 在Excel中多了一个ExcelLink工具条 即可交互使用 应用实例 1 2数据拟合 曲线拟合也成为曲线逼近 与插值函数有些区别 只要求拟合的曲线能合理地反映数据的基本趋势 并不要求曲线一定通过数据点 曲线拟合有几种不同的判别准则 如使偏差的绝对值之和最小 使偏差的最大绝对值最小和使偏差的平方和最小 即最小二乘法 常用的方法是最后一种 曲线拟合工具箱 1 3数据预测 在数学建模中经常会遇到数据的预测问题 灰色模型 预测结果比较稳定 不仅适用于大数据量的预测 在数据量较少时 大于3 预测结果也较准确 人工神经网络 1 3 1灰色模型的数学理论 灰色系统认为 系统的行为现象尽管是朦胧的 数据是复杂的 但它毕竟是有序的 是有整体功能的 灰度预测对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律 生成有较强规律性的数据序列 然后建立相应的微分方程模型 从而预测事物的未来发展趋势 最常用GM模型 单序列一阶线性微分方程模型 基本步骤 1 原始数据累加以便弱化随机序列的波动性和随机性 得到新数据序列 其中 中各数据表示对应前几项数据的累加 2 对建立的一阶线性微分方程 其中 a u为待定系数 只要求出参数a u 就能求出 从而求出的未来预测值 3 对累加生成数据做均值生成B与常数项向量Y 4 用最小二乘法求解灰参数 5 将灰参数代入进行求解 得 由于是通过最小二乘法求出的近似值 所以是一个近似表达式 6 对函数表达式和进行离散化 并将二者做差得到 灰色模型的MATLAB程序 1 对原始数据进行累加 2 构造累加矩阵B与常数向量Y 3 求解灰参数 4 将参数带入预测模型进行数据预测 实例 已知某公司1999 2008年的利润 单位 元 年 89677 99215 109655 120333 135823 159878 182321 209407 246619 300670 预测该公司未来几年的利润情况 MATLAB程序 图形 灰色模型的应用实例 CUMCM2005A长江水质的预测 对附件4的数据进行整理预测10年的长江污水量排放数据 MATLAB程序 结果图 1 3 2人工神经网络 人工神经网络基本理论 人脑中大约有1000多亿个神经元 人脑结构错综复杂使得从人脑科学中抽象出来的人工神经网络具有信息并行处理的能力 自学习能力和推理能力 人工神经网络是由大量简单的基本元件 神经元相互连接 通过模拟人的大脑神经处理信息的方式 进行信息并行处理以及自学习能力 前向反馈 backpropogation BP 网络和径向基 radicalbasisfunction RBF 网络是目前技术最成熟 应用范围最为广泛的两种网络 BP BP网络基本数学原理 BP网络是一种多层前馈神经网络 调整网络权值的训练算法是反向传播算法 BP学习算法 BP网络是一种具有三层或者三层以上神经元的神经网络 包括输入层 中间层 隐含层 和输出层 上下层之间实现全连接 同一层的神经元之间无连接 输入神经元与隐含层神经元之间是网络的权值 表示两个神经元之间的连接强度 隐含层或输出层任一神经元将前一层所有神经元传来的信息进行整合 通常还会在整合过的信息中添加一个阈值 模仿生物学中神经元必须达到一定的阈值才会触发的原理 然后将整合过的信息作为该层神经元输入 一对学习样本提供给输入神经元后 神经元的激活值 该层神经元输出值 从输入层经过各隐含层向输出层传播 在输出层的各神经元获得网络的输入响应 然后按照减少网络输出与实际输出样本之间误差的方向 从输出层反向经过各隐含层回到输入层 从而逐步修正各连接权值 误差反向传播算法 算法核心 负梯度下降 网络的调整方向总是沿着误差下降最快的方向进行 常见三层BP网络权值和阈值调整公式 MATLAB神经网络工具箱 网络创建函数 神经元激励函数 网络学习函数 网络训练函数 性能函数 newff 常使用S型对数或者正切函数和线性函数 梯度下降权值 阈值学习函数 梯度下降BP算法训练函数 mse均方误差性能函数 net newffnet newff PR S1S2 SN TF1TF2 TFN BTF BLF PF PR 每组输入元素的最大值和最小值组成的R 2矩阵 Si 第i层的长度 共计N层 TFi 第i层的激励函数 默认为 tansig BTF 网络的训练函数 默认为 trainlm BLF 权值和阈值的学习算法 默认为 learngdm PF 网络的性能函数 默认为 mse 输入神经元个数 激励函数logsig S型的对数函数 n 8 0 1 8 a logsig n plot n a 使用算法为 绘制激励函数logsig tansig为双曲正切S型激励函数 使用算法为 绘制双曲正切S型激励函数n 5 0 1 5a tansig n plot n a BP网络的输出量为0 1或者 1 1之间的连续值 如果在网络学习过程中 实际输出样本值远远超出该区间 需要对训练样本进行预处理 否则神经网络无法收敛或学习速度慢 构建神经网络时的注意事项 1 神经元节点数输入节点数m 实际问题的维数 与网络性能无关隐含层节点数l 目前没有统一的规范 常使用经验公式a为1 10之间的常数输出节点数n 实际问题的维数 2 数据预处理和后期处理 归一化处理 将每组数据都变成 1 1之间的数 可用函数premnmx 也可直接利用公式 premnmx函数 pn minp maxp tn mint maxt premnmx p t P为R Q维输入矩阵 R 输入神经元节点数 Q 每个神经元的长度 t为S Q维目标矩阵 S 输出神经元节点数 Q 每个神经元的长度 pn为标准化后的R Q维输入矩阵 tn为标准化后的S Q维目标矩阵 minp为R 1维包含p的每个分量最小值的向量 maxp为R 1维包含p的每个分量最大值的向量 mint为S 1维包含t的每个分量最小值的向量 maxt为S 1维包含t的每个分量最大值的向量 函数使用算法 应用实例 公路运量预测 公路运量主要包括公路客运量和公路货运量两个方面 据研究 某地区的公路运量主要与该地区的人数 机动车数量和公路面积有关 下表给出了某地区20年的公路运量相关数据 根据相关部门数据 该地区2010年和2011年的人数分别为73 39和75 55万人 机动车数量分别为3 9635和4 0975万辆 公路面积分别为0 9880和1 0268万平方千米 请运用BP网络预测该地区2010年和2011年的公路客运量和公路货运量 BP网络求解过程 原始数据的输入 数据归一化 网络训练 对原始数据进行仿真 将原始数据仿真的结果与已知样本进行对比 对新数据进行仿真 基于MATLAB工具箱的求解 自编源程序的求解 网络学习曲线 原始数据与仿真数据的对比图 原始数据与仿真数据的对比图