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*,*,思想解读总纲目录应用解读,栏目索引,高考导航,思想解读总纲目录应用解读,栏目索引,高考导航,*,*,思想解读总纲目录应用解读,栏目索引,高考导航,思想解读,*,思想解读总纲目录应用解读,栏目索引,高考导航,总纲目录,*,*,思想解读总纲目录应用解读,栏目索引,高考导航,应用解读,*,三、分类讨论思想,1,思想解读,思想解读,应用类型,分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略,对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度.,1.由数学概念而引起的分类讨论:如绝对值的意义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.,2.由数学运算要求而引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零,偶次方根被开方数为非负数,对数运算中真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式中两边同乘一个正数、负数,三角函数的定义域,等差、等比数列,a,n,的前,n,项和公式等.,3.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:如函数的单调性、基本不等式等.,4.由图形的不确定性而引起的分类讨论:如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.,5.由参数的变化而引起的分类讨论:如某些含有参数的问题,由于参数的取值不同而导致所得的结果不同或由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.,2,总纲目录,应用一 由概念、法则、公式引起的分类讨论,应用二由图形位置或形状引起的分类讨论,应用三由参数变化引起的分类讨论,3,应用一由概念、法则、公式引起的分类讨论,例,若函数,f,(,x,)=,a,x,(,a,0,且,a,1)在-1,2上的最大值为4,最小值为,m,且函,数,g,(,x,)=(1-4,m,),在0,+,)上是增函数,则,a,=,.,答案,解析,g,(,x,)=(1-4,m,),在0,+,)上是增函数,应有1-4,m,0,即,m,1时,f,(,x,)=,a,x,为增函数,由题意知,m,=,与,m,矛盾.,当0,a,1时,f,(,x,)=,a,x,为减函数,由题意知,m,=,满足,m,0,且,a,1)中,a,的范围没有确定,故应对,a,进行分类讨论.,5,跟踪集训,1.已知,a,b,0,且,a,1,b,1.若log,a,b,1,则,(),A.(,a,-1)(,b,-1)0,C.(,b,-1)(,b,-,a,)0,答案,Dlog,a,b,1,log,a,b,-log,a,a,0,log,a,0,或,即,或,当,时,0,b,a,1,所以,b,-10,b,-,a,a,1,所以,b,-10,b,-,a,0.所以(,b,-1)(,b,-,a,)0,故选D.,6,2.设等比数列,a,n,的公比为,q,前,n,项和,S,n,0(,n,=1,2,3,),则,q,的取值范围为,.,7,答案,(-1,0),(0,+,),解析,因为,a,n,是等比数列,S,n,0,所以,a,1,=,S,1,0,q,0,当,q,=1时,S,n,=,na,1,0,当,q,1时,S,n,=,0,即,0(,n,=1,2,3,),则有,或,由得-1,q,1.又,q,0,故,q,的取值范围是(-1,0),(0,+,).,8,应用二由图形位置或形状引起的分类讨论,例,已知变量,x,y,满足的不等式组,表示的是一个直角三角形,围成的平面区域,则实数,k,=,(),A.-,B.,C.0D.-,或0,9,解析,不等式组,表示的可行域如图(阴影部分)所示,由图可,知,因为不等式组,表示的平面区域是直角三角形,所以直线,y,=,kx,+1与直线,x,=0或,y,=2,x,垂直.,答案,D,结合图形可知,k,的值为0或-,.,10,【技法点评】,(1)本题中直角顶点的位置不定,影响,k,的取值,故需按直,角顶点不同的位置进行讨论.,(2)涉及几何问题时,由于几何元素的形状、位置变化的不确定性,需要,根据图形的特征进行分类讨论.,11,跟踪集训,1.(2017安徽合肥第一次模拟)设圆,x,2,+,y,2,-2,x,-2,y,-2=0的圆心为,C,直线,l,过(0,3),且与圆,C,交于,A,B,两点,若|,AB,|=2,则直线,l,的方程为,(),A.3,x,+4,y,-12=0或4,x,-3,y,+9=0,B.3,x,+4,y,-12=0或,x,=0,C.4,x,-3,y,+9=0或,x,=0,D.3,x,-4,y,+12=0或4,x,+3,y,+9=0,答案,B当直线,l,的斜率不存在时,计算出弦长为2,符合题意;当直,线,l,的斜率存在时,可设直线,l,的方程为,y,=,kx,+3,由弦长为2,可知,圆心到,该直线的距离为1,从而有,=1,解得,k,=-,综上,直线,l,的方程为,x,=0,或3,x,+4,y,-12=0,选B.,12,2.设,F,1,F,2,是椭圆,+,=1的左、右焦点,P,是椭圆上一点.已知,P,F,1,F,2,是,直角三角形的三个顶点,且|,PF,1,|,PF,2,|,则,的值为,.,13,答案,或2,解析,若,PF,1,F,2,=90,此时不符合题意,应舍去,若,PF,2,F,1,=90,则|,PF,1,|,2,=|,PF,2,|,2,+|,F,1,F,2,|,2,又由题意可知|,PF,1,|+|,PF,2,|=6,|,F,1,F,2,|=2,解得|,PF,1,|=,|,PF,2,|=,所以,=,.,若,F,1,PF,2,=90,则|,F,1,F,2,|,2,=|,PF,1,|,2,+|,PF,2,|,2,所以|,PF,1,|,2,+(6-|,PF,1,|),2,=20,解得|,PF,1,|=4或2,又|,PF,1,|,PF,2,|,所以|,PF,1,|=4,|,PF,2,|=2,所以,=2.,综上知,的值为,或2.,14,应用三由参数变化引起的分类讨论,例,已知函数,f,(,x,)=,x,2,-,ax,g,(,x,)=,mx,+,n,ln,x,曲线,y,=,f,(,x,)在点(1,f,(1)处的切线,的斜率为1,曲线,y,=,g,(,x,)在,x,=2处取得极小值2-2ln 2.,(1)求函数,f,(,x,),g,(,x,)的解析式;,(2)若不等式,f,(,x,)+,g,(,x,),x,2,-,k,(,x,-1)对任意的,x,(0,1恒成立,求实数,k,的取值,范围.,解析,(1),f,(,x,)=2,x,-,a,则有,f,(1)=2-,a,=1,所以,a,=1,f,(,x,)=,x,2,-,x,.,因为,g,(,x,)=,m,+,所以,故,所以,g,(,x,)=,x,-2ln,x,.,15,(2),f,(,x,)+,g,(,x,)=,x,2,-2ln,x,令,h,(,x,)=,f,(,x,)+,g,(,x,)-,x,2,+,k,(,x,-1)=,k,(,x,-1)-2ln,x,x,(0,1,所以,h,(,x,)=,k,-,=,.,当,k,0时,h,(,x,)0,h,(,x,)在(0,1上单调递减,所以,h,(,x,),min,=,h,(1)=0.,当02时,h,(,x,)0在,上恒成立,所以,h,(,x,)在,上单调递减,在,上单调递增,又由题意得,h,(,x,),min,=,h,16,0,求,a,的取值范围.,18,解析,(1),f,(,x,)的定义域为(0,+,).当,a,=4时,f,(,x,)=(,x,+1)ln,x,-4(,x,-1),f,(,x,)=ln,x,+,-3,f,(1)=-2,f,(1)=0.,曲线,y,=,f,(,x,)在(1,f,(1)处的切线方程为2,x,+,y,-2=0.,(2)当,x,(1,+,)时,f,(,x,)0等价于ln,x,-,0.,设,g,(,x,)=ln,x,-,则,g,(,x,)=,-,=,g,(1)=0.,(i)当,a,2,x,(1,+,)时,x,2,+2(1-,a,),x,+1,x,2,-2,x,+10,故,g,(,x,)0,g,(,x,)在(1,+,),上单调递增,因此,g,(,x,)0;,(ii)当,a,2时,令,g,(,x,)=0得,19,x,1,=,a,-1-,x,2,=,a,-1+.,由,x,2,1和,x,1,x,2,=1得,x,1,1,故当,x,(1,x,2,)时,g,(,x,)0,g,(,x,)在(1,x,2,)上单调递减,因,此,g,(,x,)0,得,x,8,f,(,x,)在(8,+,)上单调递增,令,f,(,x,)0,得0,x,0),f,(,x,)=,+,=,(,x,0).,(i)当,a,0时,f,(,x,)0恒成立,即,f,(,x,)在(0,e,2,上单调递增,无最小值,不满足,题意.,22,(ii)当,a,0时,令,f,(,x,)=0,得,x,=,a,所以当,f,(,x,)0时,x,a,当,f,(,x,)0时,0,x,e,2,则函数,f,(,x,)在(0,e,2,上的最小值,f,(,x,),min,=,f,(e,2,)=,+ln e,2,-2=,由,=2,得,a,=2e,2,满足,a,e,2,符合题意;,若,a,e,2,则函数,f,(,x,)在(0,e,2,上的最小值,f,(,x,),min,=,f,(,a,)=,+ln,a,-2=ln,a,-1,由ln,a,-1=2,得,a,=e,3,不满足,a,e,2,不符合题意,舍去.,综上可知,存在实数,a,=2e,2,使函数,f,(,x,)在(0,e,2,上有最小值2.,23,
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