平面向量数量积及其应用.ppt

平面向量数量积及其应用 知识回顾 知识回顾 1 定义 平面内两个非零向量的数量积 内积 的定义 向量夹角的概念 平移两个非零向量使它们起点重合 所成图形中0 180 的角称为两个向量的夹角规定与任何向量的数量积为0 2 向量的数量积的几何意义 数量积等于的长度与在方向上投影的乘积3 两个向量的数量积的性质 设 为两个非零向量 是单位向量 是与其它向量的夹角 1 2 3 特别的或 4 1 设则 2 3 cos 4 非零向量 0 注意与向量共线的坐标表示区别 4 平面向量数量积的坐标表示 1 2 3 cos 4 非零向量 0 注意与向量共线的坐标表示区别 5 平面向量数量积的应用 1 把几何学问题转化为向量问题 如利用向量证明平面几何问题 直线的方向向量等 2 把物理学问题转化为向量问题 数学中的向量就是物理中的矢量 所以利用向量可以解决物理学问题 例一 数量积一第9题 解 1 设向量 是单位向量 且 0 求的最小值 例一 数量积一第9题 思考 设向量是两个互相垂直的单位向量 若向量满足 0 求的最大值 答案 小结 将题给条件稍作变化 就能得到一个与原题类似的问题 且所用知识点也大致相同 大家平时在学习时不妨用这个方法给自己出出题 以更好的理解知识点 例二 数量积一第15题第2问 已知且向量与的夹角为 试求的取值集合 使 与 的夹角为钝角 例二 数量积一第15题第2问 分析 两向量的夹角公式为则当两向量的夹角为钝角时有 1 0 解右边不等式可得 0 但左边不等式解答比较复杂 所以 我们可以考虑在余弦小于0的情况下去掉夹角为180度的情况 即去掉两向量平行的情况 所以本题的解答如下 由题意 0且 与 不平行即且 且 且 思考 两向量夹角是锐角的等价条件是什么 小结 解题时若计算复杂则容易出错 大家要善于化繁为简 有时 稍作变动就能大大简化计算 使问题得以更好的解决 例三 数量积二第10题 已知向量 向量 求的最大值 解法一 代数方法 例三 数量积二第10题 解法二 几何方法 x y o B 如图 用表示 以O为圆心 2为半径作圆 则2可看成以O为起点 终点在圆O上的向量 由向量减法的几何意义可知答案为4 小结 向量有数和形两种表示方法 有时 数形结合可使问题的解决更加方便 例四 数量积二第15题 已知 存在实数和 使得 且 试求的最小值 分析 本题是涉及两个字母的最值问题 且不可用基本不等式 所以考虑利用等量关系互相表示 转变为关于其中一个字母的函数来处理 解答如下 由条件得 由 得 0 即 0 则有则 则当 2时 有最小值 小结 有一些解答题看似字母比较多 比较复杂 但如果耐心将题目看完 将题给的每个条件都稍作化简 联系 已知的是什么 所求的是什么 中间搭哪一座桥 很多问题都会变得清晰明了 从而迎刃而解了 本题涉及关于两个字母的表达式的最值问题 这类问题往往从 1 基本不等式 2 等量代换这两个方面去考虑 例五 向量应用第10题 在中 为中线上的一个动点 若 2 求的最小值 A B C M O 分析 如图 因为为的中点 所以 则本题可转化成两个反向向量数量积的最小值问题 解答如下 2 2由基本不等式 得 1 所以 所求最小值为 2 小结 因为向量加法有平行四边形法则 所以进行向量运算时要充分利用这一点来简化问题 从而有利于计算 例六 向量应用第15题 给定两个长度为1的平面向量和 它们的夹角为 如图所示 点在以为圆心的圆弧上变动 若其中 求的最大值 O A B C 分析 因为三个向量的模均为1 且已知与的夹角 所以 本题可以考虑利用向量数量积将向量转化为实数 同时可将用三角函数表示出来 解答如下 设 则有即 则 小结 向量的数量积是联系向量与实数的纽带 利用向量的数量积是一个实数 可以将向量问题转化为实数计算 从而有利于问题的解决 小结 小结 平面向量数量积是高考的重点考察内容 直接考察的是数量积的概念 运算律 性质 向量的平行 垂直 向量的夹角与模等 主要以填空题的形式出现 在解题时除了要熟练掌握基本知识外 也要注重利用数形结合解决问题 祝大家暑假快乐