数字信号处理离散傅里叶变换.ppt

1 第3章离散傅里叶变换 DFT 2 本章作为全书的基础 主要学习 1 DFT的定义 2 DFT的物理意义 3 DFT的基本性质以及频域采样 4 DFT的应用举例等内容 3 离散傅里叶变换定义 计算机只能处理有限长离散序列 因而无法直接利用ZT与FT进行数值计算 针对有限长序列 还有一种更有用的数学变换 即离散傅里叶变换 DiscreteFourierTransform 使数字信号处理可以在频域采用数字运算的方法进行 大大增加了数字信号处理的灵活性 4 DFT的实质 有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样 即频域离散化 DFT有多种快速算法 FastFourierTransform 因此不仅在理论上有重要意义 在各种数字信号处理算法中亦起着核心作用 从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现 5 DFT的定义设x n 是一个长度为M的有限长序列 则定义x n 的N点离散傅里叶变换为 X k 的离散傅里叶逆变换为 6 对式中 N称为DFT变换区间长度 N M 通常称上述二式为离散傅里叶变换对 为了叙述简洁 常常用DFT x n N和IDFT X k N分别表示N点离散傅里叶变换和N点离散傅里叶逆变换 7 例 x n R4 n 求x n 的8点和16点DFT 解 1 设变换区间N 8时 则 8 2 设变换区间N 16时 则 9 R4 n 的FT和DFT的幅度特性关系如下图所示 X n 的幅频特性曲线 FT曲线 X n 的8点DFT曲线 X n 的16点DFT曲线 10 结论 由此例可见 x n 的离散傅里叶变换结果与变换区间长度N的取值有关 在后面 对DFT与Z变换和傅里叶变换的关系及DFT的物理意义进行讨论后 上述问题就会得到解释 11 DFT与傅里叶变换和Z变换的关系 设序列x n 的长度为M 其Z变换和N N M 点DFT分别为 12 上二式表明序列x n 的N点DFT是x n 的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样 X k 为x n 的傅里叶变换 比较上面二式可得关系式 或 13 DFT是X ej 在区间 0 2 上的N点等间隔采样 这就是DFT的物理意义 DFT的变换区间长度N不同 表示对X ej 在区间 0 2 上的采样间隔和采样点数不同 所以DFT的变换结果不同 DFT的物理意义 14 DFT的隐含周期性 在DFT变换对中 x n 与X k 均为有限长序列 但由于的周期性 使DFT和IDFT式中的X k 隐含周期性 且周期均为N 对任意整数m 总有 在DFT式中 X k 满足 15 实际上 任何周期为N的周期序列都可以看做长度为N的有限长序列x n 的周期延拓序列 而x n 则是的一个周期 即 16 一般称周期序列中从n 0到N 1的第一个周期为的主值区间 而主值区间上的序列称为的主值序列 因此x n 与的上述关系可叙述为 是x n 的周期延拓序列 x n 是的主值序列 17 为了以后叙述简洁 当N大于等于序列x n 的长度时 将式用如右形式表示 式中x n N表示x n 以N为周期的周期延拓序列 n N表示模N对n求余 即如果n MN n10 n1 N 1 M为整数 则 n N n1 18 例如 则有 所得结果符合下图所示的周期延拓规律 19 如果x n 的长度为N 且 则可写出的离散傅里叶级数表示式 式中 即X k 为的主值序列 20 因此可知 有限长序列x n 的N点离散傅里叶变换X k 正好是x n 的周期延拓序列x n N的离散傅里叶级数系数的主值序列 即 后面要讨论的频域采样理论将会加深对这一关系的理解 我们知道 周期延拓序列频谱完全由其离散傅里叶级数系数确定 因此 X k 实质上是x n 的周期延拓序列x n N的频谱特性 这就是N点DFT的物理意义 21 离散傅里叶变换的基本性质 1线性性质如果x1 n 和x2 n 是两个有限长序列 长度分别为N1和N2 且y n ax1 n bx2 n 式中a b为常数 即N max N1 N2 则y n 的N点DFT为Y k DFT y n aX1 k bX2 k 0 k N 1其中X1 k 和X2 k 分别为x1 n 和x2 n 的N点DFT 22 2循环移位性质 1 序列的循环移位设x n 为有限长序列 长度为N 则x n 的循环移位定义为y n x n m NRN N 循环移位过程如下图所示 23 循环移位过程示意图 24 2 时域循环移位定理 设x n 是长度为N的有限长序列 y n 为x n 的循环移位 即y n x n m NRN n 则Y k DFT y n 其中X k DFT x n 0 k N 1 25 3 频域循环移位定理 如果X k DFT x n 0 k N 1Y k X k l NRN k 则y n IDFT Y k 26 3循环卷积定理有限长序列x1 n 和x2 n 长度分别为N1和N2 N max N1 N2 x1 n 和x2 n 的N点DFT分别为 X1 k DFT x1 n X2 k DFT x2 n 如果X k X1 k X2 k 则 或 上式所表示的运算称为x1 n 与x2 n 的循环卷积 27 循环卷积过程中 要求对x2 m 循环反转 循环移位 特别是两个N长的序列的循环卷积长度仍为N 显然与一般的线性卷积不同 故称之为循环卷积 记为 28 由于 所以 即循环卷积亦满足交换律 29 频域循环卷积定理 如果x n x1 n x2 n 则 30 直接计算循环卷积较麻烦 计算机中采用矩阵相乘或快速傅里叶变换 FFT 的方法计算循环卷积 下面介绍用矩阵计算循环卷积的公式 31 当n 0 1 2 L 1时 由x n 形成的序列为 x 0 x 1 x L 1 循环移位后可得下面的矩阵 32 上面矩阵称为x n 的L点 循环卷积矩阵 其特点是 1 第1行是序列 x 0 x 1 x L 1 的循环倒相序列 注意 如果x n 的长度M L 则需要在x n 末尾补L M个零后 再形成第一行的循环倒相序列 2 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位形成的 3 矩阵的各主对角线上的序列值均相等 有了上面介绍的循环卷积矩阵 就可以写出y n c的矩阵形式如下 33 34 按照上式 可以在计算机上用矩阵相乘的方法计算两个序列的循环卷积 这里关键是先形成循环卷积矩阵 上式中如果h n 的长度N L 则需要在h n 末尾补L N个零 例 计算下面给出的两个长度为4的序列h n 与x n 的4点和8点循环卷积 35 解 按照上式写出h n 与x n 的4点循环卷积矩阵形式为 h n 与x n 的8点循环卷积矩阵形式为 36 37 作业第3章习题1 2 3 THEEND