CH10-1微分方程基本概念.ppt

1 第十章微分方程与差分方程10 1微分方程的基本概念10 2一阶微分方程10 3一阶微分方程在经济学中的综合应用10 4可降阶的二阶微分方程10 5二阶常系数线性微分方程10 6差分与差分方程的概念 常系数线性差分方程解的结构10 7一阶常系数线性差分方程10 8二阶常系数线性差分方程10 9差分方程的简单经济应用 2 N t 时刻t的人口数量 基本假设 人口净增长率r 单位时间内人口的净增长数与人口总数之比 是常数 马尔萨斯人口模型英国人口学家Malthus 1766 1834 于1798年提出 随着时间增加 人口按指数规律无限增长 3 例1 以一种新的观点描述连续复利 假设某人以本金P0元进行一项投资 投资的年利率为r 若以连续复利计 则t年末的资金总额为 现在我们将从另一种观点导出 1 设t时刻的资金总额为P t 且资金没有取出也没有新的投入 那么 t时刻资金总额的变化率 t时刻资金总额获取的利息 解得 4 二 基本概念 微分方程 DifferentialEquations 联系着自变量 未知函数及函数的导数 或微分 的关系式 常微分方程 OrdinaryDifferentialEquations 自变量只有一个的微分方程 偏微分方程 PartialDifferentialEquations 自变量有两个或两个以上的微分方程 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数 称之微分方程的阶 一阶微分方程 二阶微分方程 5 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解 例1 以一种新的观点描述连续复利 设t时刻的资金总额为P t 且资金没有取出也没有新的投入 那么t时刻资金总额的变化率 t时刻资金总额获取的利息 C为任意的常数 通解 特解 初始条件 6 2 特解 确定了通解中任意常数以后的解 微分方程的解的分类 1 通解 微分方程的解中含有相互独立的任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 通解 特解 特解的图象 微分方程的积分曲线 通解的图象 积分曲线族 x y 0 7 解由于 8 解已知 因此所求特解为x Acost 9 练习验证下列函数是二阶微分方程的解 1 2 C1 C2为任意常数 验证 令C1 1 C2 1 即解 2 通解 特解 10 二 基本概念 微分方程 DifferentialEquations 联系着自变量 未知函数及函数的导数 或微分 的关系式 常微分方程 OrdinaryDifferentialEquations 自变量只有一个的微分方程 偏微分方程 PartialDifferentialEquations 自变量有两个或两个以上的微分方程 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数 称之微分方程的阶 一阶微分方程 二阶微分方程 11 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解 1 通解 微分方程的解中含有相互独立的任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 2 特解 确定了通解中任意常数以后的解 初始条件 思考题 思考题解答 中不含任意常数 故为微分方程的特解