卷积和和卷积积分.ppt

第二章线性时不变系统 LTI LinearTimeInvarient 重点 理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质 掌握LTI系统的性质 难点 深刻理解卷积积分与卷积和的概念 2 1线性时不变连续系统的时域解法 连续时间系统处理连续时间信号 通常用微分方程来描述系统 微分方程 其有无数个解 若已知初始条件 其解唯一 微分方程的经典解 齐次解是满足 的解 若n个特征值各不相同 若特征值中有 1是r重根 而其余的根都为单数 则 ci cj的值由初始条件确定 齐次解 特解 特解的函数形式与激励函数形式有关 微分方程的特解形式 系统的零输入响应与零状态响应 一个线性系统可以将系统的响应分解为零输入响应和零状态响应 即 零输入响应 零状态响应 而 例 已知一系统的微分方程为 求分别输入 时的输出y t 解 2 2单位冲激响应 单位冲激响应 线性时不变系统在单位冲激信号的激励下产生的零状态响应 用h t 表示 即 分析如下电路 已知 uc 0 0 求uc t 解 建立系统的微分方程 由于冲激函数是在t 0时给系统注入了一定的能量 而在t 0时 系统的激励为0 相当于在0 到0 时刻 使系统具有了一定的初始能量 因此 系统的冲激响应与系统的零输入响应具有相同的形式 这里 用h t 表示系统的冲激响应 即 注意 单位冲击响应为系统的零状态响应 2 3卷积积分 对于线性系统 可以将输入信号分解为许多简单信号之和 如果求得简单信号作用于系统的响应 那么 所有这些响应叠加起来就是该输入作用于系统的响应 一个任意的输入信号可以分解为 指数函数 冲激函数 阶跃函数等等 这里讨论将信号分解为冲激函数之和的情况 矩形信号 分为一系列宽度相等的窄矩形脉冲之和 若 设x t 为无时限的信号 将它分解为一系列宽度为的窄脉冲之和 当 则 设系统的单位冲激响应为h t 则系统对应于的冲激响应为 则系统对输入x t 的总响应为所有冲激响应之和 当 求和符号改为积分符号 上述积分是x t 与h t 之间的一种二元运算 用y t x t h t 表示 即 卷积积分的图解法 卷积的图解法有助于我们理解卷积的物理意义以及求解步骤 以x t h t 为例 1 将h 反折 得h 2 将h 沿 轴时延t秒 得得h t 3 将x 与h t 相乘 得x h t 4 沿 轴对x h t 积分 例 设x t 与h t 如图所示 求y t x t h t 反折 时移 1 2 3 4 5 y t 的时域波形如图所示 例 求 解 例 已知 求 求 例 已知 2 卷积积分运算的性质 1 满足交换律 2 满足分配律 3 卷积的结合律 4 卷积的微分 两个函数卷积后的导数等于其中一函数导数与另一函数之卷积 即 5 卷积的积分 应用类似的推演可以到处卷积的高阶导数或多重积分之运算规律 设 则有 此处 当i j取正整数时为导数的阶次 取负整数时为重积分的次数 一个简单的例子为 4 与冲激函数或阶跃函数的卷积 1 函数x t 与单位冲激函数 t 卷积的结果仍然是x t 本身 即 证明 证明 例 解 将h t 写成与阶跃函数乘积的形式 例 已知 求 2 4卷积和 在连续时间系统中 可以利用卷积积分的方法求系统的零状态响应 这时 首先把激励信号分解成冲激函数 把这些冲激响应的叠加即可得到系统对此激励信号的零状态响应 这个过程称为卷积积分 在离散系统中 由于离散信号本身就是不连续的序列 对应每个样值序列 每一响应也是一个离散时间序列 把这些序列叠加即得离散系统的零状态响应 对于任意的激励信号x n 可以表示成单位冲激序列的加权和 即 2卷积和的性质 与连续函数的卷积积分的性质类似 离散函数的卷积和也满足交换律 结合律以及分配律 以及满足 下面分析卷积和的几种运算方法 从卷积和的表达式 可知 卷积和也要经过以下四个步骤 图解法 以一个例子说明这个方法 已知 3 相乘 求和 卷积和的波形如下 2 解析式法 对于能够写成比较简洁的表达式的离散函数 可以通过定义求出卷积和 对于这种不是很明显就看成卷积和的上下限的函数 一般也要通过图解法作为辅助的手段 3 多项式相乘法 对于序列长度不是很长的序列 可以通过利用多项式乘法求解 下面举一例子说明这种方法 为书写方便 写成如下形式 将两序列的左端或右端对齐 然后相乘 这里采用左端对其的方式 要注意的是不能进位 最后把同一列上的乘积值按对位求和即可得到y n 上面的这个表达式还不完整 还没有确定y n 的定义域 一般的 对于一个定义为 n1 n2 的序列x n 以及 n3 n4 的序列h n h n k 的定义域为 n n4 n n3 即 上面这道例题 其中n1 0 n2 3 n3 0 n4 2 则其定义域为 0 5 4 序列长度 x n 定义在 n1 n2 以及h n 定义在 n3 n4 上 若定义x n 的序列长度为Nf h n 的序列长度为Nh y n 的长度为Ny 则 4 解卷积运算 在许多信号处理的实际问题中 需要做解卷积运算 即已知x n h n y n 求h n x n 解卷积运算可以用长除法来进行 仍举上面的例子进行说明 其起始位置可以通过我们在前面求卷积和的方法来推导出 例 设3个LTI因果系统的级联如图所示 其中冲激响应h2 n 为h2 n u n u n 2 而总的冲激响应为 h n 1 5 10 11 8 4 1 n 0 1 2 3 4 5 6 1 求冲激响应h1 n 2 求整个系统对x n n n 1 的响应 这里相当于求卷积 采用长除法 故 h1 n 1 3 3 2 1 n 0 1 2 3 5 2 5线性时不变系统的性质 系统的记忆性 系统的可逆性 系统的因果性 系统的稳定性 一 系统的记忆性 系统的无记忆性意味着 任何时刻的输出信号值仅取决于同一时刻的输入信号值 而与其他时刻的输入信号值无关 无记忆系统 DT y n kx n h n k n CT y t kx t h t k t 即 在一个LTI系统中 只有满足下列条件时 LTI系统才是无记忆的 二 LTI系统的可逆性 给定一个系统的冲激响应为h t 逆系统的冲激响应为h1 t 则必定有 h t h1 t t 例 一个信号与一个移位冲激的卷积就是该信号的移位 三 LTI系统的因果性 连续和离散时间LTI系统的因果判据分别是 例子 请问以下系统是因果系统么 1 h n u n 2 h n n n 1 3 h n 4 nu 2 n 4 h t e 3tu t 1 因果 因果 非因果 因果 h t 0 t 0或h n 0 n 0 连续时间或离散时间线性系统的因果性等价于这样的条件 即对于任何时刻t0或n0 若对任何输入x t 或x n 系统的输出或分别满足如下条件 这个条件正是上述物理规律的数学描述 通常叫做 初始松弛 注意 对于线性系统 因果性等效于初始松弛 四 LTI系统的稳定性 连续或离散时间LTI系统稳定性的充要条件 例 下列系统是稳定的LTI系统么 是 否 2 5 3LTI系统的单位阶跃响应 单位阶跃响应s t 或s n 就是输入为u t 或u n 时LTI系统的输出 一个连续时间LTI系统的阶跃响应为 s t u t h t 即 一个离散时间LTI系统的阶跃响应为 s n u n h n 即 单位冲激函数的卷积定义 t 的运算定义为 即将 t 定义为与任意函数卷积运算能产生该函数本身的一种函数 2 6奇异函数 t 的性质 1 t 具有单位面积2 偶函数3 t 的筛选性质4 x t t x 0 t t 各阶导数的运算定义 考虑LTI系统 这个系统的单位冲激响应是单位冲激的导数 称为单位冲激偶u1 t t 的k阶导数 k t 都是奇异函数 uk t 是 t 的k阶导数 是一个取输入k次导数系统的单位冲激响应 定义 t 各次积分的运算定义 单位阶跃函数u t 是 t 的一次积分 t 的二次积分为 定义 u k t 是 t 的k次积分 是一个取输入k次积分系统的单位冲激响应 2 7用微分和差分方程描述的因果LTI系统 在连续系统中 通过建立系统的常系数微分方程 然后对其求解 以获得系统的响应 在离散系统中 对系统建立的是差分方程 连续系统 常系数微分方程 经典解法 零输入响应与零状态响应 离散系统 常系数差分方程 用差分方程来描述时域离散系统的输入输出关系 其有无数个解 若已知初始条件 一个N阶常系数线性差分方程表示为 求解常系数线性差分方程的方法 2 经典解法 1 递推解法 对于 则 若N 0 y n 与输入以及其以前值有关 其响应是无限长 无限冲激响应 IIR 有限冲激响应 FIR 若N 0 用微分方程和差分方程描述的一阶系统的方框图表示 1 离散时间系统 DTS 基本组件 A 相加器B 乘以系数C 单位延迟 基本组件 Example y n ay n 1 bx n 2 连续时间系统 CTS 基本组件 A 相加器B 乘以系数C 积分器 微分器 基本组件 Example y t ay t bx t