《线性代数复习》PPT课件.ppt

线性代数复习本科类 授课人 数学学科组狄芳 1 行列式 本章的重点是注重学会利用行列式的性质及按行 列 展开等基本方法来简化行列式的计算 并掌握两行 列 交换 某行 列 乘数 某行 列 加上另一行 列 的k倍这三类运算 EX1计算 EX2k取何值时有非零解 2 矩阵 矩阵的乘法 1 定义 若 规定 m s矩阵A乘s n矩阵B得到一个m n矩阵C C中的第i行第j列元素cij由矩阵A中第i行的s个元素与矩阵B中第j列的s个元素对应相乘相加得到 求 1 AB BA 2 A2 BT 已知矩阵A B EX1 称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵 1 若有零行 元素全为零的行 位于底部 1 行阶梯形矩阵 2 各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右 如 几种要关注的矩阵 称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵 1 行阶梯形矩阵 2 行最简形矩阵 2 各非零行的首非零元均为1 3 首非零元所在列其它元素均为 如 把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵 叫做的转置矩阵 记作 3 转置矩阵 定义 4 对称矩阵 定义 如 使得 A的逆矩阵记作A 1 则称矩阵A是可逆的 并把矩阵B称为A的逆矩阵 对于n阶矩阵A 如果有一个n阶矩阵B 定理A可逆的充要条件是 A 0 方阵的逆阵的性质 4 若A可逆 则AT也可逆 且 AT 1 A 1 T 逆矩阵 定义下面三种变换称为矩阵的初等行 列 变换 线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换对应为对方程组的增广矩阵的初等变换 1 对调两行 列 2 以非零数k乘某一行 列 中的所有元素 3 把某一行 列 的k倍加到另一行 列 上去 定义如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B 就称矩阵A与B等价 记作 3 矩阵的初等变换 用初等行变换法求矩阵的逆 此为求逆矩阵的第二种方法 即初等变换法 也是最常用的方法 并且这种方法可以自动判断矩阵的可逆性 A E E A 1 另一方法 伴随矩阵法 EX1求下面矩阵的逆矩阵 利用初等行变换可把矩阵A化为行阶梯形矩阵 利用初等行变换 也可把矩阵化为行最简形矩阵 所有行等价的矩阵所对应的线性方程组都是同解的 其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是最简单的 而且是最容易求解的 在求矩阵和向量组的秩时把矩阵A化为行阶梯形矩阵 在解线性方程组时把矩阵A化为行最简形矩阵 定理矩阵经过初等变换后其秩不变即若A B 则R A R B 求矩阵秩的方法 把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵 其中非零行的行数即是该矩阵的秩 定理阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数 利用初等变换求矩阵的秩 EX2求矩阵的秩 极大无关组所含向量的个数r称为向量组A的秩 记作RA 向量组的极大无关组的定义和等价定义 定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于它的行向量组的秩 典型例题求矩阵A的列向量组的一个极大无关组 并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示 方法 对A施行初等行变换变为行最简形矩阵 求得R A r 可知列向量组的极大无关组含r个向量 行最简阵中单位向量所对应的列向量为列向量组的一个极大无关组 将A的行最简形矩阵中其余向量用单位向量表示 其表示系数即为所求 利用初等变换求向量组的极大无关组 EX3利用初等变换求下列向量组的一个极大无关组 并把其余列向量用极大无关组线性表示 n个未知数m个方程的线性方程组Ax b 1 无解的充分必要条件是R A R A b 2 有唯一解的充分必要条件是R A R A b n 3 有无限多解的充分必要条件是R A R A b n n元齐次线性方程组Ax 0有非零解的充分必要条件是R A n 4 线性方程组的解 齐次线性方程组解的结构 设 1 2 t为方程Ax 0的基础解系 则方程Ax 0的通解为x c1 1 c2 2 ct t c1 c2 ct R 定理 用初等行变换把n元齐次线性方程组Ax 0的系数矩阵A化为行最简形 设R A r 齐次线性方程组求基础解系的方法 从最简形的同解方程组可以解出基础解系 基础解系含有n r个线性无关的解向量 最后得出通解 设 1 2 n r为方程Ax 0的基础解系 则方程Ax 0的通解为 x c1 1 c2 2 cn r n r c1 c2 cn r R 设m n矩阵A的秩R A r 则n元齐次线性方程组Ax 0的解空间S的秩RS n r EX1求齐次线性方程组 的基础解系与通解 设 是方程组Ax b的一个特解 1 2 n r是对应齐次方程组Ax 0的基础解系 则方程组Ax b的通解为x k1 1 k2 2 kn r n r k1 kn r R 非齐次线性方程组解的结构 求解线性方程组Ax b的步骤 1 把它的增广矩阵B化成行阶梯形 从B的行阶梯形可同时看出R A 和R B 若R A R B 则方程组无解 2 若R A R B 则进一步把B化成行最简形 3 从最简形的同解方程组得出特解 并从对应的齐次方程组中解出基础解系 最后得出通解 EX2已知线性方程组 1 问 取何值时方程组有解 2 有解时求出它的通解并写出对应的基础解系 5 相似矩阵及二次型 向量的内积 内积的性质 1 对称性 2 线性性 设 为n维向量 k为实数 则 3 非负性 当 0时 0 当 0时 0 设有n维实向量 若向量组中的向量两两正交 且均为非零向量 则 这个向量组称为正交向量组 简称正交组 由单位向量组成的正交组称为规范正交组 规范正交组 两两正交 ai aj aiTaj 0 规范 ai 1 正交阵 正交阵的列 行 向量都是单位向量 且两两正交 即正交阵的列 行 向量构成规范正交组 ATA E 即A 1 AT 相似矩阵 则称B是A的相似矩阵 或说矩阵A与B相似 设A B都是n阶矩阵 若有可逆矩阵P 使P 1AP B 2 特征值 特征向量 n阶矩阵A 数 和n维非零向量x 使关系式 A的对应于特征值 的特征向量 E A x 0的非零解x A的特征值 特征方程 E A 0的根 数 称为方阵A的特征值 x称为对应于特征值 的特征向量 Ax x成立 求矩阵A的特征值 和特征向量的方法 1 求特征方程 E A 0的根得A的特征值 2 对每个特征值 解 E A x 0得基础解系 若n阶矩阵A与B相似 则A与B的特征多项式相同 从而A与B的特征值也相同 若n阶矩阵A与对角矩阵 diag 1 2 n 相似 则 1 2 n即是A的n个特征值 EX1求矩阵的特征值 EX2设 求A的特征值与 特征向量 并求矩阵U 使得为对角阵 行列式习题课 一 定义与计算 二 三阶行列式 对角线法则 四阶及四阶以上的行列式 展开定理 常用 利用性质6化零 利用展开定理降阶相结合 或 利用性质6化为上三角行列式 二 性质 1 性质1 2 性质2 3 性质3 4 性质3推论1 5 性质5 6 性质6 保值 判零 7 性质2推论 8 性质4 9 性质3推论2 三 cramer法则 若 若 则有唯一解 则只有零解 若 有非零解 则 EX1 EX2用克拉默法则求解 矩阵及其运算习题课 一 矩阵运算 1 线性运算 2 乘法 则 其中 二 矩阵的行列式 A为n阶方阵 表示A的行列式 1 2 3 三 矩阵转置 若 则A为对称阵 四 逆矩阵 1 定义 存在性 唯一性 若AB BA E 则A与B互为逆矩阵 即 2 性质 与转置性质对照 1 2 3 4 不成立 5 6 3 求逆方法 伴随矩阵法 A可逆 A为非奇异的 4 应用 1 解线性方程组 2 求解矩阵方程 例设n阶方阵A与B满足A B AB 1 证明A E为可逆矩阵 2 已知 求A 矩阵的初等变换习题课 一 初等变换 行 互换变换 倍乘变换 倍加变换 二 矩阵的秩 R A rA中非零子式的最高阶数 求法 1 定义 2 初等变换法化为行阶梯阵 三 初等矩阵 单位阵经过一次初等变换而得到的矩阵 形式 互换阵 倍乘阵 倍加阵 作用 1 对A进行一次行初等变换相当于以相应的初等阵去左乘A 对A进行一次列初等变换相当于以相应的初等阵去右乘A 2 定理任一非奇异矩阵经过一系列初等变换可化为单位阵 求逆方法 例1求解 Ch4习题课 一 线性组合 为 的线性组合 存在组合系数 使得 二 线性相关 不全为0 线性相关 当且仅当 线性无关 三 极大线性无关组 向量组A中能选出r个向量 满足 1 向量组B 线性无关 2 向量组A中任何向量都可由向量组B线性表示 为向量组A的一个极大无关组 四 向量组的秩 向量组A中极大无关组的个数称为向量组的秩 矩阵A的秩 其行向量组的秩 其列向量组的秩 判断线性相关 无关的方法 1 引入待定系数 求解齐次线性 方程组 有非零解 不全为零 相关 只有零解 无关 2 当向量 个数 维数 即未知数个数 方程个数 引入行列式 3 当向量 个数 维数 则向量组必定线性相关 即未知数个数 方程个数 4 由K个向量组成一个矩阵则当R A K时 向量组线性相关当R A K时 向量组线性无关 求极大无关组的方法 求向量组的秩 判断线性相关 无关 1 以向量为列构造辅助矩阵 2 将A作初等行变换化为行最简形矩阵B 3 A的秩 B的非零行行数 即为向量组的秩r 4 若线性相关 则B中单位阵所对应的向量即为极大无关组 五 线性方程组 设有方程组 其中A为m n型矩阵 则 1 当时 方程组相容 有解 当R A n 未知数个数 时 有唯一解 当R A n 未知数个数 时 有无穷多解 2 当时 方程组无解 相容性定理 的基础解系含有 n r 个线性无关的解向量 则通解为 的一个特解为 则通解为 例1已知方程组有非零解 求 的值 判断下列向量组是否线性相关 例2 例3求下列方程组的通解及基础解系