九年级数学上册 第二十八章 锐角三角函数课件 （新版）新人教版.ppt

第二十八章锐角三角函数 28 1锐角三角函数28 1 1三角函数的定义 课前预习1 如图 已知Rt ABC中 C 90 AC 6 BC 8 则tanA的值为 A B C D 2 已知Rt ABC中 C 90 CAB AC 7 那么BC为 A 7sin B 7cos C 7tan D 7cot 3 已知锐角 且sin cos37 则 等于 A 37 B 63 C 53 D 45 D C C 4 如图 在直角三角形ABC中 C 90 AC 12 B 13 则sinB的值等于 5 在Rt ABC中 C 90 如果AC BC 3 4 那么cosA的值为 课堂精讲知识点1正弦的定义如图所示 在Rt ABC中 C 90 如果锐角A确定 那么 A的对边与斜边的比是一个固定值 锐角A的对边与斜边的比叫做 A的正弦 sine 记作sinA 即sinA 注意 1 正弦是在直角三角形中定义的 反映了直角三角形边与角的关系 是两条线段的比值 它没有单位 当角的度数确定时 其比值随之确定 与三角形的边的长短无关 即与三角形的大小无关 2 sinA是一个完整的符号 不能写成 sin A 书写时习惯省略 A的角的符号 但当用三个大写字母表示角时 如 ABC 其正弦应写成sin ABC 不能写成sinABC sin2A表示 sinA 2 即sinA sinA 而不能写成sinA2 3 在直角三角形中 因为O a c 所以由正弦的定义可知O sinA 1 例1 在Rt ABC中 A 90 求sinC和sinB的值 解析 利用勾股定理求出BC 再由锐角三角函数值的定义求出sinC和sinB的值 解 在Rt ABC中 BC sinC sinB 变式拓展 1 如图是4 4的正方形网格 点C在 BAD的一边AD上 且A B C为格点 sin BAD的值是 知识点2余弦 正切的定义如图所示 在Rt ABC中 C 90 当锐角A的大小确定时 A的邻边与斜边的比 A的对边与邻边的比也分别是确定的 我们把 A的邻边与斜边的比叫做 A的余弦 cosine 记作cosA 即cosA 把 A的对边与邻边的比叫做 A的正切 tangent 记作tanA 即tanA 注意 1 余弦 正切都是一个比值 是没有单位的数值 2 余弦 正切只与角的大小有关 而与三角形的大小无关 3 cosA tanA是整体符号 不能写成cos A tan A cos2A和tan2A分别表示 cosA 2和 tanA 2 即cosA cosA和tanA tanA 而不能写成cosA2和tanA2 4 当用三个字母表示角时 角的符号 不能省略 如cos ABC tan ABC 5 因为O0 b 0 所以tanA O 例2 如图所示 在Rt ABC中 C 90 求 A B的余弦值和正切值 解析 先用勾股定理求出AC的长 再用余弦和正切的定义求值 解 C 90 AC 4 cosA tanA cosB tanB 变式拓展2 Rt ABC中 C 90 AB 10 BC 8 则cosB 3 如图 ABC的顶点都是正方形网格中的格点 则tan BAC等于 知识点3锐角三角函数的定义对于锐角A的每一个确定的值 sinA有唯一确定的值与它对应 所以sinA是A的函数 同样的 cosA tanA也是A的函数 即锐角A的正弦 余弦 正切都是么A的锐角三角函数 注意 1 锐角三角函数的实质是一个比值 这些比值只与角的大小有关 sinx cosx tanx都是以锐角x为自变量的函数 当x确定后 它们的值都是唯一确定的 也就是说 锐角三角函数值随角度的变化而变化 2 锐角三角函数都不可取负值 例3 在Rt ABC中 C 90 AB 13 BC 5 求 A的锐角三角函数数值 解析 利用勾股定理列式求出AC 然后根据锐角的三角函数列式即可 解 由勾股定理得 AC 12 sinA cosA tanA 变式拓展4 已知 如图 在Rt ABC中 C 90 AC 15 BC 8 求 A的锐角三角函数值 解 在Rt ABC中 C 90 AC 15 BC 8 AB2 AC2 BC2 289 AB 17 sinA cosA tanA 随堂检测1 在直角 ABC中 C 90 A B与 C的对边分别是a b和c 那么下列关系中 正确的是 A cosA B tanA C sinA D cosA C 2 如图 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB 垂足为D 若AC 2 BC 1 则sin ACD A B C D 3 如图 点A t 3 在第一象限 OA与x轴所夹的 锐角为 tan 则t的值是 A 1B 1 5C 2D 3第2题第3题4 随着锐角 的增大 cos 的值 A 增大B 减小C 不变D 增大还是减小不确定 B C C 5 在Rt ABC中 C 90 CD是斜边AB上的高 如果CD 3 BD 2 那么cos A的值是 6 如图 在 ABC中 C 90 点D在BC上 AD BC 5 cos ADC 求sinB的值 解 AD BC 5 cos ADC CD 3在Rt ACD中 AD 5 CD 3 AC 4在Rt ACB中 AC 4 BC 5 AB sinB 28 1 2特殊角的三角函数 30 9 44 D B 课前预习1 sin45 的值是 A B 1C D 2 已知 为等腰直角三角形的一个锐角 则cos 等于 A B C D 3 计算 2sin60 tan45 4 Rt ABC中 C 90 cosA 则 A 5 用科学计算器计算 8 sin56 精确到0 01 课堂精讲知识点130 45 60 角的三角函数值及有关计算利用勾股定理和锐角三角函数的定义 可求出30 45 60 角的三角函数值 1 熟记特殊角的锐角三角函数值是进行三角函数计算的关键 注意 1 要会借助两个基本直角三角形 如图所示 推导30 45 60 角的三角函数值 2 上表的含义是会求30 45 60 的正弦值 余弦值及正切值 并用来计算 反过来 已知一个特殊角的正弦值 余弦值及正切值 要会求出相应的锐角 例1 计算 1 2 2cos30 tan60 2tan45 tan60 解析 根据特殊角三角函数值 可得答案 解 1 把sin30 cos45 tan60 tan45 1代入原式得 4 2 把cos30 tan60 tan45 1代入原式得2cos30 tan60 2tan45 tan60 2 2 0 变式拓展1 计算 sin45 tan45 2cos60 2 计算 sin260 tan30 cos30 tan45 解 原式 解 原式 知识点2用计算器求锐角三角函数值或根据锐角三角函数值求锐角掌握利用计算器求锐角三角函数值的方法 熟练使用计算器是做题的关键 例2 用计算器求下列各式的值 1 sin47 2 sin12 30 3 cos25 18 4 tan44 59 59 解析 本题要求同学们 熟练应用计算器 对计算器给出的结果 根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数 解 根据题意用计算器求出 1 sin47 0 7314 2 sin12 30 0 2164 3 cos25 18 0 9003 4 tan44 59 59 1 0000 变式拓展3 已知下列锐角三角函数值 用计算器求锐角A B的度数 1 sinA 0 7 sinB 0 01 2 cosA 0 15 cosB 0 8 3 tanA 2 4 tanB 0 5 解 1 由sinA 0 7 得A 44 4 由sinB 0 01得B 0 57 2 由cosA 0 15 得A 81 3 由cosB 0 8 得B 36 8 3 由tanA 2 4 得A 67 4 由tanB 0 5 得B 26 5 随堂检测1 sin30 对应数值的绝对值是 A 2B C D 2 在Rt ABC中 ACB 90 BC 1 AC 2 则下列结论正确的是 A sinA B tanA C cosB D tanB 3 在 ABC中 A B C的对边分别是a b c 已知a 1 b 1 c 则sinA B B 3 31 解 原式 解 6tan230 sin60 2sin45 28 2解直角三角形及其应用28 2 1解直角三角形 课前预习1 如图 在Rt ABC中 C 90 AC 4 sinB 则AB的长为 A 6B C D 2 在Rt ABC中 C 90 若BC 1 AB 则tanA的值为 A B C D 23 在Rt ABC中 C 90 cosB 则a b A C 3 4 等腰三角形底边长为10cm 周长为36cm 则底角的正弦值为 5 在Rt ABC中 C 90 当已知 A和a时 求c 则c 课堂精讲知识点解直角三角形1 一般地 直角三角形中 除直角外 共有五个元素 即三条边和两个锐角 由直角三角形中的已知元素 求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形 1 在直角三角形中 除直角外的五个元素中 已知其中的两个元素 至少有一条边 可求出其余的三个未知元素 知二求三 2 一个直角三角形可解 则其面积可求 但在一个解直角三角形的题中 如无特别说明 则不包括求面积 2 直角三角形的边角关系如图所示 在Rt ABC中 A B为锐角 C 90 它们所对的边分别为a b c 其中除直角 C外 其余的5个元素之间有以下关系 1 三边之间的关系 勾股定理 2 锐角之间的关系 A B 90 3 边角之间的关系 sinA cosB cosA sinB tanA tanB 4 如果 A 30 那么或 3 解直角三角形的类型与解法 归纳 1 在遇到解直角三角形的实际问题时 最好是先画一个直角三角形的草图 按题意标明哪些元素是已知的 哪些元素是未知的 然后先确定锐角 再确定它的对边和邻边 2 运用关系式解直角三角形时 常用到下列变形 锐角之间的关系 A 90 B B 90 A 三边之间的常用变形 边角之间的常用变形 a c sinA b c cosA a b tanA a c cosB b c sinB b a tanB 3 计算边时可选用以下口诀来解题 有斜求对乘正弦 有斜求邻乘余弦 无斜求对乘正切 有斜求对乘正弦 意思是 在一个直角三角形中 对一个锐角而言 如果已知斜边长 要求出锐角的对边 那么就用斜边长乘该锐角的正弦 其他的意思可类推 例1 如图 在 ABC中 ABC 90 A 30 D是边AB上一点 BDC 45 AD 4 求BC的长 结果保留根号 解析 由题意得到三角形BCD为等腰直角三角形 得到BD BC 在直角三角形ABC中 利用锐角三角函数定义求出BC的长即可 解 B 90 BDC 45 BCD为等腰直角三角形 BD BC在Rt ABC中 tan A tan30 即解得BC 2 1 例2 2015响水县一模 如图 在 ABC中 AD是BC上的高 tanB cos DAC 1 求证 AC BD 2 若sinC BC 36 求AD的长 解析 1 根据高的定义得到 ADB ADC 90 则分别利用正切和余弦的定义得到tanB cos DAC 再利用tan B cos DAC得到 所以AC BD 1 证明 AD是BC上的高 ADB ADC 90 在Rt ABD中 tanB 在Rt ACD中 cos DAC tan B cos DAC AC BD 2 在Rt ACD中 根据正弦的定义得sinC 可设AD 12k AC 13k 再根据勾股定理计算出CD 5k 由于BD AC 13k 于是利用BC BD CD得到13k 5k 36 解得k 2 所以AD 24 2 解 在Rt ACD中 sinC 设AD 12k AC 13k CD 5k BD AC 13k BC BD CD 13k 5k 36 解得k 2 AD 12 2 24 变式拓展1 如图 ABC中 AD BC 垂足是D 若BC 14 AD 12 tan BAD 求sinC的值 解 在直角 ABD中tan BAD BD AD tan BAD 12 9 CD BC BD 14 9 5 AC 13 sinC 2 2015 崇明县二模 在Rt ABC中 BAC 90 点E是BC的中点 AD BC 垂足为点D 已知AC 9 cosC 1 求线段AE的长 2 求sin DAE的值 解 1 在Rt ABC中 cosC BC 9 15 点E是斜边BC的中点 AE BC 2 AD BC ADC ADE 90 在Rt ADC中 cosC CD 9 点E是BC的中点 CE BC DE CE CD 在Rt ADE中 sin DAE 随堂检测1 在 ABC中 A 120 AB 4 AC 2 则sinB的值是 A B C D 2 在Rt ABC中 C 90 cosB 若BC 1 则AC A 1B 2C D 3 在 ABC中 a 1 b A 30 则 B 4 将一副三角板如图所示放在一起 连接AD 则 ADB的正切值是 B C 60或120 5 2015 常州模拟 如图 BD是 ABC的高 AB 6 AC 5 A 30 1 求BD和AD的长 2 求tanC的值 解 1 BD AC ADB BDC 90 sinA cosA AB 6 A 30 BD 3 AD 3 2 AC 5 CD 2在Rt BCD中 tanC 28 2 2应用举例 第1课时 课前预习1 如图 某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中 已测得仰角 CAE 33 AB a BD b 则下列求旗杆CD长的正确式子是 A CD bsin33 aB CD bcos33 aC CD btan33 aD CD a C 2 如图 在高出海平面100m的悬崖顶A处 观测海平面上一艘小船B 并测得它的俯角为45 则船与观测者之间的水平距离BC m A 100B 50C 100D 100第2题第3题3 如图 若某人在距离大厦BC底端C处200米远的A地测得塔顶B的仰角是30 则塔高BC 米 1 732 精确到0 1米 D 115 5 小杰在楼上点A处看到楼下点B处的小丽的俯角是36 那么点B处的小丽看点A处的小杰的仰角是度 36 课堂精讲知识点仰角 俯角的概念在测量中 我们把在视线与水平线所成的角中 视线在水平线上方的叫做仰角 视线在水平线下方的叫做俯角 如图所示 PQ为水平线 视线为PA时 则 APQ叫做仰角 视线为PB时 则 BPQ叫做俯角 甲看乙的俯角等于乙看甲的仰角 例1 如图 某同学在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为45 此时该同学距地面高度AE为20米 电梯再上升5米到达D点 此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为37 求大楼的高度BC 参考数据 sin37 0 60 cos37 0 80 tan37 0 75 解析 首先过点E D分别作BC的垂线 交BC于点F G 得两个直角三角形 EFC和 BDG 由已知大楼BC楼底C点的俯角为45 得出EF FC AE 20 DG EF 20 再由直角三角形BDG 可求出BG GF DE 5 CO从而求出大楼的高度BC 解 过点E D分别作BC的垂线 交BC于点F G在Rt EFC中 因为FC AE 20 FEC 45 所以EF 20在Rt DBG中 DG EF 20 BDG 37 因为tan BDG 0 75所以BG DG 0 75 20 0 75 15而GF DE 5所以BC BG GF FC 15 5 20 40答 大楼BC的高度是40米 例2 2015 宛城区模拟 如图 某飞机于空中探测某座山的高度 在点A处飞机的飞行高度是AF 3700米 从飞机上观测山顶目标C的俯角是45 飞机继续以相同的高度飞行300米到B处 此时观测目标C的俯角是50 求这座山的高度CD 参考数据 sin50 0 77 cos50 0 64 tan50 1 20 解析 此题考查了解直角三角形的应用 解答本题的关键是两次利用三角函数的知识 求出BE及AE的表达式 属于基础题 要能将实际问题转化为数学计算 设EC x 则在RT BCE中 可表示出BE 在Rt ACE中 可表示出AE 继而根据AB BE AE 可得出方程 解出即可得出答案 解 设EC x在Rt BCE中 tan EBC 则BE x在Rt ACE中 tan EAC 则AE x AB BE AE 300 x x解得x 1800这座山的高度CD DE EC 3700 1800 1900 m 答 这座山的高度是1900m 变式拓展如图 某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD 小明在离旗杆下方大楼底部E点24m的点A处放置一台测角仪 测角仪的高度AB为1 5m 并在点B处测得旗杆下端C的仰角为40 上端D的仰角为45 求旗杆CD的长度 结果精确到0 1米 参考数据 sin40 0 64 cos40 0 77 tan40 0 84 解 过点B作BF DE于点F则四边形ABFE为矩形在 BCF中 CBF 40 CFB 90 BF AE 24m tan40 CF 0 84 24 20 16 m 在 BDF中 DBF 45 DF 24m则CD DF CF 24 20 16 3 8 m 答 旗杆CD的长为3 8m 2 2015 长春模拟 如图所示 课外活动中 小明在离旗杆AB10m的C处 用测角仪测得旗杆顶部A的仰角为40 已知测角仪器的高CD 1 5m 求旗杆AB的高 精确到0 1米 供选用的数据 sin40 0 64 cos40 0 77 tan40 0 84 解 CD BC AB BC DE AB 四边形DCBE是矩形 DE BC 10m在Rt ADE中 DE 10m ADE 40 AE DE tan40 10 0 84 8 4 m AB AE BE 8 4 1 5 9 9 m 答 旗杆AB的高是9 9米 随堂检测1 小明为了测量水面宽度AB 从C点分别测得A B两点的俯角分别为60 30 C点到水面的距离CD 8m 则AB等于 A B C D C 59 5 5 4 2015 兴化市一模 某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中 为了测量某建筑物AB的高 他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C处观察 测得某建筑物顶部A的仰角为30 底部B的俯角为45 求建筑物AB的高 精确到1m 可供选用的数据 1 4 1 7 解 过点C作AB的垂线 垂足为E CD BD AB BD 四边形CDBE是矩形 CD 12m ECB 45 BE CE 12m AE CE tan30 12 m AB 12 19 m 答 建筑物AB的高为19米 5 2015 大连模拟 如图 某建筑物BC上有一旗杆AB 小明在与BC相距12m的F处 由E点观测到旗杆顶部A的仰角为60 底部B的仰角为45 小明的观测点E与地面的距离EF为1 6m 注 结果精确到0 1m 参考数据 1 41 1 73 1 求建筑物BC的高度 2 求旗杆AB的高度 解 1 过点E作ED BC于D则四边形DCFE是矩形 DE CF 12mEF CD 1 6m根据题意得 BED 45 EBD 45 BD ED FC 12m BC BD DC BD EF 12 1 6 13 6 m 答 建筑物BC的高度为13 6m 2 由题意得 AED 60 AD ED tan60 12 12 1 73 20 8 m AB AD BD 20 8 12 8 8 m 答 旗杆AB的高度约为8 8m 28 2 3应用举例 第2课时 课前预习1 如图 小明从点A沿坡度i 1 2的斜坡走到点B 若AB 10米 则上升高度是 米 A 5B 2C D 2 一斜坡长为米 高度为1米 那么坡比为 A 1 3B 1 C 1 D 1 3 某河坝横截面如图 堤高BC 6米 迎水坡AB 米 则迎水坡AB的坡度为 A 30 B 45 C D 1 C A D 4 如图 斜坡AB的坡度i 1 3 该斜坡的水平距离AC 6米 那么斜坡AB的长等于m 5 如图所示 一水库迎水坡AB的坡度i 1 2 则求坡角 的正弦值sin 第4题第5题 2 课堂精讲知识点坡度 坡角的概念 1 坡角 坡面与水平面所成的夹角 如图中的 2 坡度 我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度 如图所示 坡度也可写成 的形式 在实际应用中常表示成1 的形式 3 坡度与坡角的关系 即坡度是坡角的正切值 坡角越大 坡度也就越大 注意 坡度的结果不是一个度数 而是一个比值 不要与坡角相混淆 例1 已知一水坝的横断面是梯形ABCD 下底BC长14m 斜坡AB的坡度为3 另一腰CD与下底的交角为45 且长为4m 求它的上底的长 精确到0 1m 1 414 1 732 解析 过点D作DF BC 过点A作AE BC 根据已知条件求出AE DF的值 再根据坡度与特殊角的三角函数值求出BE 最后根据EF BC BE FC 即可得出答案 解 过点D作DF BC 过点A作AE BC CD与BC的夹角为45 DCF 45 CDF 45 CD DF CF AE DF 斜坡AB的坡度为3 tan ABE BE 4m BC 14m EF BC BE FC 14 4 4 10 4 AD EF AD 10 4 3 1 m 答 它的上底的长3 1m 例2 2015 安徽模拟 如图 某滑板爱好者训练时的斜坡示意图 出于安全因素考虑 决定将训练的斜坡的倾角由45 降为30 已知原斜坡坡面AB的长为5米 点D B C在同一水平地面上 1 改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米 2 若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安全 已知原斜坡AB的前方有6米长的空地 进行这样的改造是否可行 说明理由 精确到0 01 参考数据 1 414 1 732 2 449 解析 1 滑滑板增加的长度实际是 AD AB 的长 在Rt ABC中 通过解直角三角形求出AC的长 进而在Rt ACD中求出AD的长得解 2 分别在Rt ABC Rt ACD中求出BC CD的长 即可求出BD的长 进而可求出改造后滑滑板前方的空地长 若此距离大于等于3米则这样改造安全 反之则不安全 解 1 在Rt ABC中 BC AC AB sin45 m在Rt ADC中AD mCD m AD AB 5 1 414 5 2 07m 改善后的斜坡会加长2 07m 2 这样改造能行 CD BC 2 449 1 414 2 59 6 3 这样改造能行 答 改善后的斜坡坡面会加长2 07m 这样改造能行 变式拓展1 如图所示 铁路的路基横断面是等腰梯形 斜坡AB的坡度为1 斜坡AB的水平宽度BE m 那么斜坡AB长为m 1 6 2 2015 淄博模拟 如图 有一段斜坡BC长为10m 坡角 CBD 12 为方便残疾人的轮椅车通行 现准备把坡角降为5 1 求坡高CD 2 求斜坡新起点A到原起点B的距离 精确到0 1m 参考数据 sin12 0 21 cos12 0 98 tan5 0 09 解 1 在Rt BCD中 CD BC sin12 10 0 21 2 1m 2 在Rt BCD中 BD BC cos12 10 0 98 9 8m在Rt ACD中AB AD BD 23 33 9 8 13 53 13 5m 答 坡高2 1米 斜坡新起点与原起点的距离为13 5米 随堂检测1 如图 传送带和地面所成斜坡的坡度为1 3 若它把物体从地面点A处送到离地面2m高的B处 则物体从A到B所经过的路程为 A 6mB mC 2mD 3m2 如图 防水堤坝的轴截面是等腰梯形ABCD DA CB DC AB DA 5 DC 4 AB 9 则斜坡DA的坡角为 第1题第2题 C 60 3 某建筑物门口有一无障碍通道 通道的斜坡长为am 通道的最高点距水平地面bm 若a b 1 该通道的坡比是 4 2014 巴中 如图 一水库大坝的横断面为梯形ABCD 坝顶BC宽6m 坝高20m 斜坡AB的坡度i 1 2 5 斜坡CD的坡角为30 求坝底AD的长度 精确到0 1m 参考数据 1 414 1 732 提示 坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比 解 作BE AD CF AD 垂足分别为点E F则四边形BCFE是矩形由题意得 BC EF 6m BE CF 20m斜坡AB的坡度i为1 2 5在Rt ABE中 AE 50m在Rt CFD中 D 30 DF CF cot D 20m AD AE EF FD 50 6 20 90 6m 答 坝底AD的长度约为90 6m 5 2015 泰州校级一模 如图 一堤坝的坡角 ABC 62 坡面长度AB 30m 图为横截面 为了使堤坝更加牢固 一施工队欲改变堤坝的坡面 使得坡面的坡角 ADB 50 则此时应将坝底向外拓宽多少米 结果保留到1m 参考数据 sin62 0 88 cos62 0 47 tan50 1 20 解 过A点作AE CD于E在Rt ABE中 ABE 62 AE AB sin62 30 0 88 26 4mBE AB cos62 30 0 47 14 1m在Rt ADE中 ADB 50 DE 22m DB DE BE 8m答 此时应将坝底向外拓宽大约8m 28 4应用举例 3 1 如图 C D分别是一个湖的南 北两端A和B正东方向的两个村庄 CD 6km 且D位于C的北偏东30 方向上 则AB的长为 A 2kmB 3kmC kmD 3km 2 小军从A地沿北偏西60 方向走10m到B地 再从B地向第1题正南方向走20m到C地 此时小军离A地 A 5mB 10mC 15mD 10m B D 3 已知东西海岸线上有相距7km的A B两个码头 灯塔P距A码头13km 在B码头测得灯塔P在北偏东45 方向 则灯塔P到海岸线的距离为km 4 一只兔子沿OP 北偏东30 的方向向前跑 已知猎人在Q 1 点挖了一口陷阱 问 如果兔子继续沿原来的方向跑 填 有 或 没有 危险 5或12 有 课堂精讲知识点方位角的概念指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90 的水平角 叫方向角 如图所示目标方向线OA OB OC的方向角分别可以表示为北偏东30 南偏东45 北偏西30 其中南偏东45 习惯上又叫做东南方向 北偏东45 习惯上又叫做东北方向 北偏西45 习惯上又叫做西北方向 南偏西45 习惯上又叫做西南方向 注意 因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角 所以方向角都写成 北偏 南偏 的形式 而一般不写成 西偏 东偏 的形式 解决实际问题时 可利用正南 正北 正西 正东方向线构造直角三角形来求解 例1 如图 一艘海轮位于灯塔P的北偏东30 方向 距离灯塔80海里的A处 它沿正南方向航行一段时间后 到达位于灯塔P的南偏东45 方向上的B处 这时 海轮所在的B处与灯塔P的距离为海里 结果保留根号 解析 作PC AB于C 由已知条件易求PC的长 在Rt PBC中 PC 40 PBC BPC 45 则PB可求出 解 作PC AB于C 在Rt PAC中 PA 80 PAC 30 PC 40在Rt PBC中 PC 40 PBC BPC 45 PB 40答案 40 例2 2015 泰安模拟 甲 乙两条轮船同时从港口A出发 甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60 的方向航行 乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进 1小时后 甲船接到命令要与乙船会合 于是甲船改变了行进的速度 沿着东南方向航行 结果在小岛C处与乙船相遇 假设乙船的速度和航向保持不变 求 1 港口A与小岛C之间的距离 2 甲轮船后来的速度 解析 1 根据题意画出图形 再根据平行线的性质及直角三角形的性质解答即可 2 根据甲乙两轮船从港口A至港口C所用的时间相同 可以求出甲轮船从B到C所用的时间 又知BC间的距离 继而求出甲轮船后来的速度 解 1 作BD AC于点D 如图所示 由题意可知AB 30 1 30 BAC 30 BCA 45 在Rt ABD中 AB 30 BAC 30 BD 15 AD AB cos30 15在Rt BCD中 BD 15 BCD 45 CD 15 BC 15 AC AD CD 15 15即A C间的距离为 15 15 海里 2 AC 15 15 轮船乙从A到C的时间为 1 轮船甲由B到C的时间为 1 1 BC 15 轮船甲从B到C的速度为 5 海里 小时 答 港口A与小岛B之间的距离为 15 15 海里 甲轮船后来的速度为5海里 小时 10 解 由已知得在Rt PBC中 PBC 60 PC BC tan60 BC在Rt APC中 PAC 30 AC PC 3BC 500 BC解得BC 250 PC 250 米 答 灯塔P到环海路的距离PC等于250米 随堂检测1 如图 一艘海轮位于灯塔P的东北方向 距离灯塔40海里的A处 它沿正南方向航行一段时间后 到达位于灯塔P的南偏东30 方向上的B处 则海轮行驶的路程AB为 海里 A 40 40B 80C 40 20D 80 2 如图 机器人从A点出发 沿着西南方向行了4m到达B点 在点B处观察到原点O在它的南偏东60 的方向上 则OA m 结果保留根号 A 如图 在B处观测灯塔A位于南偏东75 方向上 轮船从B以每小时60海里的速度沿南偏东30 方向匀速航行 轮船航行半小时到达C处 在C处观测灯塔A位于北偏东60 方向上 则C处与A处的距离是海里 30 4 2015 东营模拟 如图 某海监船向正西方向匀速航行 在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45 方向 海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45 方向 又航行了半小时到达C处 望见渔船D在南偏东60 方向 若海监船的速度为50海里 小时 求A B之间的距离 取 1 7 结果精确到0 1海里 解 DBA DAB 45 DAB是等腰直角三角形 过点D作DE AB于点E 则DE AB 设DE x 则AB 2x在Rt CDE中 DCE 30 则CE DE x在Rt BDE中 DBE 45 则DE BE x CB CE BE x x 25解得x AB 25 1 67 5 海里 答 A B之间的距离约为67 5海里 5 2015 吴兴区一模 如图 灯塔A周围1000m水域内有暗礁 一般船由西向东航行 在O处测得灯塔A在北偏东60 方向上 这时OA 2100m 若不改变航向 此船有无触礁的危险 解 此船无触礁的危险 过点A作AB OB于点B 由题意可得OA 2100 AOB 90 60 30 AB OA 1050 m 1050 1000 此船无触礁的危险