《求曲线的方程》PPT课件.ppt

姓名 张艳单位 江苏省靖江高级中学 高中数学选修2 12 6 2求曲线的方程 2 复习 直接法定义法待定系数法点差法代入法参数法 求曲线方程 例1动点P x y 到定点A 3 0 的距离比它到定直线x 5的距离少2 求 动点P的轨迹方程 O 3 5 A x y m 解法一 直接法 思考 如何化去绝对值号 P点在直线左侧时 PH PA 不合题意 故x 5 P 如图 P H 例1动点P x y 到定点A 3 0 的距离比它到定直线x 5的距离少2 求 动点P的轨迹方程 3 5 A x y m 解法一 直接法 解法二 定义法 如图 则点P到定点A 3 0 与定直线n x 3等距离 P x y 故 点P的轨迹是 A n 例2已知圆A x 2 2 y2 1与点A 2 0 B 2 0 分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程 1 PAB的周长为10 2 圆P与圆A外切 且点B在动圆P上 P为动圆圆心 3 圆P与圆A外切且与直线x 1相切 P为动圆圆心 分析 1 根据题意 先找出等价条件 再根据条件判定曲线类型 最后写出曲线方程 1 PA PB 10 AB 6 2 PA PB 1 3 P点到A的距离比P点到直线x 1的距离多1 即P点到A的距离等于P点到直线x 2的距离 解析 1 根据题意 知 PA PB AB 10 即 PA PB 6 4 AB 故P点的轨迹是椭圆 且2a 6 2c 4 即a 3 c 2 b 因此其方程为 2 设圆P的半径为r 则 PA r 1 PB r 因此 PA PB 1 由双曲线的定义知 P点的轨迹为双曲线的右支 且2a 1 2c 4 即a c 2 b 因此其方程为 3 依题意 知动点P到定点A的距离等于到定直线x 2的距离 故其轨迹为抛物线 且开口向左 p 4 因此其方程为y2 8x 小结 解题时应注意动点的几何特征 若盲目进行代数运算则可能较繁琐 例3等腰直角三角形ABC中 斜边BC长为 一个椭圆以C为其中一个焦点 另一个焦点在线段AB上 且椭圆经过点A B 求 该椭圆方程 O 解 D 则 AD AC 2a BD BC 2a 所以 AD BD AC BC 4a 即 待定系数法 例3等腰直角三角形ABC中 斜边BC长为 一个椭圆以C为其中一个焦点 另一个焦点在线段AB上 且椭圆经过点A B 求 该椭圆方程 O 解 得 D AD AC 2a AC AD DC 2 AD 2 AC 2 2 16 24 6 2 2 6 故所求椭圆方程为 注 重视定义 点差法 小结 1 轨迹 与 轨迹方程 是两个不同的概念 前者要指出曲线的形状 位置 大小等特征 后者指方程 包括范围 2 求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性 化简过程若破坏了方程的同解性 要注意补上遗漏的点或者要挖去多余的点 代入法 例5 ABC的顶点B C的坐标分别为 0 0 4 0 AB边上的中线的长为3 求顶点A的轨迹方程 定义法 例5 ABC的顶点B C的坐标分别为 0 0 4 0 AB边上的中线的长为3 求顶点A的轨迹方程 例6设椭圆与双曲线有公共的焦点F1 4 0 F2 4 0 并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍 试求椭圆与双曲线交点的轨迹 参数法 解析 法一 设双曲线实半轴长为a 则椭圆的长半轴长为2a 由题意得2 a 4 由半焦距为4 可得椭圆与双曲线方程为 设点P的坐标为 x y A x1 y1 B x2 y2 因A B在椭圆上 所以 由 4 可得 将此式代入 式可得a2 2 x 再把 代入 式 消去a 得当x 0 得 x 5 2 y2 9 当x 0 得 x 5 2 y2 9 由2 a 4 得2 x 8 所以 所求轨迹为两个圆 并除去它们与y轴的交点 法二 设椭圆与双曲线交点P x y 由椭圆与双曲线的定义及已知条件 可得 PF1 PF2 2 PF1 PF2 即 PF1 3 PF2 或 PF2 3 PF1 将P点坐标 x y 代入 化简可得 x 5 2 y2 9及 x 5 2 y2 9 因交点P不会在x轴上 y 0 故2 x 8 所以所求轨迹方程是 x 5 2 y2 9 y 0 x 5 2 y2 9 y 0 轨迹为两个圆 并除去它们与y轴的交点 小结 由于探讨的对象是 交点的轨迹 求轨迹方程的过程是一个创造性的 建模 过程 并不能完全依靠已有 因此 充分认清题设条件后或选择适当的参数 建立方程组 消去参数后就得 交点轨迹方程 如方法一 或选择根据几何等式的传递 构建新的几何条件 如方法二 都是常见的解题思路 1 求圆锥曲线的轨迹方程要注意利用圆锥曲线的定义解题 从而简化解题过程 2 求关于轴对称的曲线的方程的一般步骤 1 设所求曲线上任一点P x y 2 求出其关于点或轴对称的点p x y 3 将p 坐标代入已知曲线得所求曲线方程 3 涉及多个动点的轨迹问题 可用动点代入法或参数法求解 分清主动点和从动点 选择适当参数是解题的关键 4 求轨迹要注意取值范围和 杂点 的去除 规律总结 基础训练 1 动点P与定点A 1 0 B 1 0 的连线的斜率之积为 1 则P点轨迹方程是 解析 直接法 x2 y2 1 x 1 2 设P为双曲线上一动点 O为坐标原点 M为线段OP的中点 则点M的轨迹方程为 解析 代入法 设P x1 y1 M x y 则x1 2x y1 2y 代入得x2 4y2 1 x2 4y2 1 3 两条直线ax y 1 0和x ay 1 0 a 1 的交点的轨迹方程是 解析 参数法 ax y 1 0 x ay 1 0 y x得y2 y x2 x 0 即 a 1 x 1 x 0 y 0且y 1 4 已知两圆C1 x 4 2 y2 2 C2 x 4 2 y2 2 动圆M与两圆C1 C2都相切 则动圆圆心M的轨迹方程是 解析 定义法 动圆M与两圆C1 C2都要相切 有四种情况 动圆M与两圆都相外切 动圆M与两圆都相内切 动圆M与圆C2内切 与圆C1外切 动圆M与圆C1内切 与圆C2外切 在 情况下 显然 动圆圆心M的轨迹方程为x 0 在 的情况下 如图设动圆M的半径为r 则 MC1 r MC2 r 故得 MC1 MC2 2 在 的情况下 同理得 MC2 MC1 2 由 得 MC1 MC2 2 根据双曲线定义 可知点M的轨迹是以C1 4 0 C2 4 0 为焦点的双曲线 且a c 4 b2 c2 a2 14 其方程为 所求轨迹方程为 知识要点 1 求轨迹方程的一般步骤 建系 设点 列式 代入 化简 检验 检验就是要检验点的轨迹的纯粹性和完备性 2 求轨迹方程的常用方法 1 直接法 题目中的条件有明显的等量关系 或者可以利用平面几何知识推出等量关系 列出含动点 x y 的解析式 2 定义法 分析题设几何条件 根据圆锥曲线的定义 判断轨迹是何种类型的曲线 直接求出该曲线的方程 3 代入法 如果轨迹动点P x y 依赖于另一动点Q a b 而Q a b 又在某已知曲线上 则可先列出关于x y a b的方程组 利用x y表示出a b 把a b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程 4 参数法 如果轨迹动点P x y 的坐标之间的关系不易找到 也没有相关点可用时 可先考虑将x y用一个或几个参数来表示 消去参数得轨迹方程 参数法中常选角 斜率等为参数 3 注意求 轨迹 与 轨迹方程 的区别与联系一般说来 若是 求轨迹方程 求得方程就可以了 若是 求轨迹 求得方程还不够 还应指出方程所表示的曲线的类型