2011届高三数学点、直线、圆的位置关系.ppt

1 直线x y 1 0与圆 x 1 2 y2 2的位置关系是 A 相切B 相交C 相离D 不能确定圆心 1 0 与直线x y 1 0的距离又r 选A 易错点 判断直线与圆的位置关系 弄清圆心到直线的距离与半径r的大小关系 而不是与r2的关系 A 2 如果直线ax by 4与圆x2 y2 4有两个不同的交点 则点P a b 与圆的位置关系是 A P在圆外B P在圆上C P在圆内D 不能确定由已知 圆心 0 0 到直线ax by 4的距离得a2 b2 4 所以点P a b 在圆x2 y2 4外 选A A 3 若过原点的直线l与曲线 x 2 2 y2 1有公共点 则直线l的斜率的取值范围为 A B C D 设直线方程为y kx即y kx 0 由题意得解得选C C 4 两圆 x 1 2 y2 4与x2 y2 2y 0公切线的条数是 由题意可得两圆连心线长r1 r2 3 因为1 3 所以两圆相交 故有2条公切线 填2 2 5 直线l过点P 1 1 且截圆C x2 y2 4所得的弦长为2 则直线l方程为 当直线l与x轴垂直时 所截圆的弦长为2 满足题设 当直线l斜率k存在时 直线方程设为y 1 k x 1 即kx y k 1 0 由垂径定理得知圆C的圆心 0 0 到直线l的距离d 1 所以解得k 0 综上可知 所求直线l的方程为x 1或y 1 填x 1或y 1 易错点 设直线方程时 须注意讨论斜率k的存在与否 x 1或y 1 1 直线与圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系有三种 相交 相切 相离 2 判断直线与圆的位置关系常见的方法有两种 代数法 把直线方程代入圆的方程转化为二次方程 利用判别式 b2 4ac 0 相交 b2 4ac 0 相切 b2 4ac 0 相离 几何法 利用圆心到直线距离d与圆的半径r的大小关系 dr 相离 3 P x0 y0 在圆x2 y2 r2外 直线x0 x y0y r2与圆x2 y2 r2相交 P x0 y0 在圆x2 y2 r2上 直线x0 x y0y r2与圆x2 y2 r2相切 P x0 y0 在圆x2 y2 r2内 直线x0 x y0y r2与圆x2 y2 r2相离 2 圆与圆的位置关系 1 两圆位置关系的判定 设两圆圆心分别为O1 O2 半径分别为r1 r2 d r1 r2 外离 4条公切线 d r1 r2 外切 3条公切线 d r1 r2 相交 2条公切线 d 内切 1条公切线 0 d 内含 无公切线 2 公共弦所在的直线方程设两圆C1 x2 y2 D1x E1y F1 0 C2 x2 y2 D2x E2y F2 0 若两圆相交 则两圆的公共弦所在的直线方程为 D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0 重点突破 直线与圆的位置关系已知圆x2 y2 2mx 2my 2m2 2 0 m R 求证 不论m为何值 圆心在同一直线l上 与l平行的直线中 哪些与圆分别相交 相切 相离 用配方法将圆的一般方程配成标准方程 求圆心坐标 消去m 比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小 证明 配方得 x m 2 y m 2 2 x my m程为x y 0 则不论m为何值 圆心恒在直线l x y 0 设圆心为 x y 则 消去m得l方 设与l平行的直线是l1 x y b 0 则圆心到直线l1的距离为因为圆的半径为r 2 所以当dr 即b2时 直线与圆相离 交 由圆的一般方程研究圆的基本要素时 配成标准方程 即可得 判断直线l与圆的位置关系时 主要有两种方法 一是看由它们的方程组成的方程组有无实数解 二是可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系 列式求解 已知圆的方程是x2 y2 2 直线y kx 2 当k为何值时 圆与直线 有两个公共点 只有一个公共点 没有公共点 圆x2 y2 2的圆心 0 0 到直线当d1或kr 即 1 k 1时 直线与圆相离 没有公共点 y kx 2的距离 重点突破 圆与圆的位置关系圆O1的方程为x2 y 1 2 4 圆O2的圆心为O2 2 1 若圆O2与圆O1外切 求圆O2的方程 若圆O2与圆O1交于A B两点 且求圆O2的方程 根据两圆的位置关系及圆心性质建立等式求出圆O2的半径 设圆O2的半径为r 由于两圆外切 则圆心距所以故圆O2的方程为 x 2 2 y 1 2 4 1 2 设圆O2的方程为 x 2 2 y 1 2 r2 因为圆O1的方程为x2 y 1 2 4 故两圆的方程相减 即得两圆的公共弦AB所在直线方程为4x 4y r2 8 0 所以圆心O1 0 1 到直线AB的距离为解得r2 4或r2 20 故圆O2的方程为 x 2 2 y 1 2 4或 x 2 2 y 1 2 20 两圆位置关系通过圆心距与两半径之和或差的关系来确定 求两相交圆的公共弦所在直线方程时 可由两圆的方程作差消去x2 y2项 即可得 求与圆x2 y2 4外切于点P 1 3 且半径为4的圆的方程 如图所示 设圆M的方程为 x a 2 y b 2 16 因为两圆外切 所以 又由圆的几何性质可知O P M三点共所以且a 0 联立 解得a 3 b 3 所以圆的方程为 x 3 2 y 3 2 16 线 重点突破 直线与圆的方程的应用已知圆的方程为 x 1 2 y 2 2 4 求过点P 1 5 的圆的切线方程 先确定点P 1 5 与圆的位置关系 再求点P的切线方程 点P到圆心的距离所以点P在圆外 当切线的斜率存在时 该切线方程为y 5 k x 1 即kx y k 5 0 由圆心到切线的距离等于半径 得解得所以切线方程为5x 12y 55 0 当切线的斜率不存在时 该切线方程为x 1 所以过点P 1 5 的圆的切线方程为5x 12y 55 0或x 1 由圆外一点作圆的切线有两条 求直线方程须分析斜率的存在与否 在设直线方程时应需先分类讨论 已知圆C x 1 2 y2 4 求过点Q 2 的圆的切线方程 点Q到圆心的距离所以点Q在圆C上 由圆的几何性质知 过点Q的圆的切线与圆C和点Q的连线互相垂直 所以过点Q的圆C的切线的斜率切线方程为x 3y 5 0 已知过点A 0 1 且斜率为k的直线l与圆C x 2 2 y 3 2 1相交于M N两点 求实数k的取值范围 求证 为定值 若O为坐标原点 且 12 求k的值 由于直线与圆C相交于M N两点 故利用直线与圆相交的条件即可得k的取值范围 故应联系切割线定理即可证得结论 x1x2 y1y2 联想根与系数的关系即可解决 因为直线l过点A 0 1 且斜率为k 所以直线l的方程为y kx 1 由直线l与圆C x 2 2 y 3 2 1相交 得所以 证明 过点A 0 1 的圆C的一条切线为AT T为切点 因为圆C的圆心C 2 3 半径r 1 所以即所以即为定值7 设M x1 y1 N x2 y2 将y kx 1代入方程 x 2 2 y 3 2 1 得 1 k2 x2 4 1 k x 7 0 所以所以 x1x2 y1y2 1 k2 x1x2 所以解得k 1 又当k 1时 0 所以k 1 k x1 x2 1 本题涉及的知识较多 虽含有向量 但只是用到了平面向量最基本的知识 最终是很常规的用到点到直线的距离 根与系数的关系等方法 考查化归与转化 数形结合思想 1 解决直线与圆的位置关系问题 要注意数形结合 充分利用圆的几何性质 如 圆的切线垂直于过切点的半径 相交弦中点和圆心连线垂直于此相交弦所在直线 等 避免冗长的计算 2 直线与圆相交求弦长时 一般用到判别式结合韦达定理 弦长公式 垂径定理 3 解决两圆位置关系 重点是根据圆心距d和两圆半径r1 r2的关系判断 要注意两圆的位置关系与两圆的公切线条数的依附关系 两圆相切时 切点与两圆圆心三点共线 4 直线与圆相切时切线的求法 1 求过圆上的一点 x0 y0 的圆的切线方程 先求切点和圆心连线的斜率k 则由垂直关系 切线斜率为 由点斜式方程可求得切线方程 如果k 0或k不存在时 则由图形可直接得切线方程为y y0或x x0 2 求过圆外一点 x0 y0 的圆的切线方程 几何法 当k存在时 设切线方程为y y0 k x x0 即kx y y0 kx0 0 由圆心到直线的距离等于半径 可求得k 切线方程即可求出 代数法 设切线方程为y y0 k x x0 即y kx y0 kx0 代入圆的方程 得到一个关于x的一元二次方程 由 0 求得k 从而可得到切线方程 以上两种方法只能求出斜率存在的直线 而斜率不存在的切线 需结合图形求得 1 2009 宁夏 海南卷 已知圆C1 x 1 2 y 1 2 1 圆C2与圆C1关于直线x y 1 0对称 则圆C2的方程为 A x 2 2 y 2 2 1B x 2 2 y 2 2 1C x 2 2 y 2 2 1D x 2 2 y 2 2 1 B 设圆C2的圆心为 a b 则依题意 对称圆的半径不变 为1 故选B 本题考查直线与圆的方程 涉及图形的对称性 两直线垂直的条件 圆的方程等知识 有 解得 a 2b 2 2 2009 天津卷 若圆x2 y2 4与圆x2 y2 2ay 6 0 a 0 的公共弦长为2 则a 由已知 两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为y 利用圆心 0 0 到直线的距离解得a 1 本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用 考查运算能力和推理能力 1