中考数学 第七单元 三角形 第24课时 直角三角形和勾股定理复习课件.ppt

第24课时直角三角形和勾股定理 1 2015 淮安 下列四组线段中 能组成直角三角形的是 A a 1 b 2 c 3B a 2 b 3 c 4C a 2 b 4 c 5D a 3 b 4 c 52 在Rt ABC中 C 90 B 30 斜边AB的长为2cm 则AC长为 小题热身 D C 3 2014 昆明 如图24 1 在Rt ABC中 ACB 90 AB 10cm 点D为AB的中点 则CD cm 5 图24 1 4 2015 永康模拟 如图24 2为一圆柱体工艺品 其底面周长为60cm 高为25cm 从点A出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点B 则该装饰线最短长为 cm 图24 2 65 一 必知3知识点1 直角三角形定义 有一个角是直角的三角形是直角三角形 直角三角形性质 1 直角三角形的两个锐角 2 直角三角形的斜边上的中线等于斜边的 3 在直角三角形中 30 的角所对的边等于斜边的 直角三角形判定 有两个角互余的三角形是 三角形 考点管理 互余 一半 一半 直角 2 勾股定理勾股定理 如果直角三角形的两直角边分别为a b 斜边为c 那么a2 b2 c2 智慧锦囊 勾股定理的作用 1 已知直角三角形的两条边 求第三边 2 已知直角三角形的一边 确定另外两边的关系 3 证明带有平方关系的问题 4 把实际问题转化为直角三角形中应用勾股定理的问题 3 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a b c 满足a2 b2 c2 那么这个三角形是 三角形 勾股数 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数 称为勾股数 直角 智慧锦囊 勾股定理逆定理的应用 1 判断三角形的形状 2 证明两条线段垂直 3 实际应用 二 必会2方法1 面积法用面积法证明是常用的技巧之一 勾股定理的证明通常用面积法 即利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式 从而得到证明的结论 2 数形结合思想在一些实际问题中 如解决立体图形侧面两点的距离问题 折叠问题 航海问题 梯子下滑问题等 常直接或间接运用勾股定理及其逆定理 在解决这些问题时 充分体现了数形结合思想 是中考的热点考题 三 必明3易错点1 在利用勾股定理时 确定所给的边是直角边还是斜边 如果题中未说明 需要分类讨论 2 在已知三角形三边的前提下 判断这个三角形是否为直角三角形 首先要确定三条边中的最大边 再根据勾股定理的逆定理来判定 解题时 往往受思维定式的影响 误认为如果是直角三角形 则c是斜边 从而造成误解 3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 这个性质定理常用于证明一条线段是另一条线段的一半的数量关系 注意直角三角形这一前提条件 类型之一直角三角形的性质的运用 2015 黄冈 如图24 3 在 ABC中 C 90 B 30 边AB的垂直平分线DE交AB于点E 交BC于点D CD 3 则BC的长为 图24 3 C 解析 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 AD BD 可得 DAE 30 易得 ADC 60 CAD 30 则AD为 BAC的角平分线 由角平分线的性质得DE CD 3 再根据直角三角形30 角所对的直角边等于斜边的一半可得BD 2DE 6 所以BC 9 2015 湖北 如图24 4 在 ABC中 B 30 BC的垂直平分线交AB于点E 垂足为D CE平分 ACB 若BE 2 则AE的长为 解析 在 ABC中 B 30 BC的垂直平分线交AB于E BE 2 BE CE 2 B DCE 30 CE平分 ACB 图24 4 B ACE DCE 30 ACB 2 DCE 60 A 180 B ACB 90 在Rt CAE中 类型之二勾股定理的应用 2015 常州 如图24 5是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系 公园的入口位于坐标原点O 古塔位于点A 400 300 从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B 从盆景园B向左转90 后直行400m到达梅花阁C 则点C的坐标是 400 800 图24 5 解析 根据题意结合全等三角形的判定与性质得出 AOD ACB SAS 进而得出C A D也在一条直线上 求出CD的长即可得出C点坐标 如答图 连结AC 由题意可得AB 300m BC 400m 在 AOD和 ACB中 例2答图 AOD ACB SAS CAB OAD B O在一条直线上 C A D也在一条直线上 AC AO 500m 则CD AC AD 800m C点坐标为 400 800 2014 东营 如图24 6 有两棵树 一棵高12m 另一棵高6m 两树相距8m 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢 问小鸟至少飞行 m 解析 根据 两点之间线段最短 可知 小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行 飞行的路程最短 运用勾股定理可将两点之间的距离求出 如答图 大树高为AB 12m 小树高为CD 6m 过C点作CE AB于E 则四边形EBDC是矩形 连结AC 10 图24 6 EB 6m EC 8m AE AB EB 6 m 故小鸟至少飞行10m 变式跟进答图 类型之三勾股定理与拼图 2015 株洲 如图24 7是 赵爽弦图 ABH BCG CDF和 DAE是四个全等的直角三角形 四边形ABCD和EFGH都是正方形 如果AB 10 EF 2 那么AH等于 解析 设DE为a 由四个直角三角形全等可得DF DE 2 AE AD2 AE2 DE2 a2 a 2 2 100 a 6 a 8 舍去 AH 6 图24 7 6 1 如图24 8是一株美丽的勾股树 其中所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 若正方形A B C D的面积分别为2 5 1 2 则最大的正方形E的面积是 解析 根据勾股定理的几何意义 可得A B的面积和为S1 C D的面积和为S2 S1 S2 S3 即S3 2 5 1 2 10 图24 8 10 2 如图24 9 四边形ABCD EFGH NHMC都是正方形 边长分别为a b c A B N E F五点在同一条直线上 则c 用含有a b的代数式表示 图24 9 3 2015 烟台 如图24 10 正方形ABCD的边长为2 其面积标记为S1 以CD为斜边作等腰直角三角形 以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形 其面积标记为S2 按照此规律继续下去 则S2015的值为 图24 10 C 解析 根据题意 第一个正方形的边长为2 点悟 勾股定理既反映了直角三角形三边关系 同时也反映了以直角三角形三边为正方形的面积关系 是勾股定理另一种表现形式 类型之四平面展开最短线段问题 2015 资阳 如图24 11 透明的圆柱形容器 容器厚度忽略不计 的高为12cm 底面周长为10cm 在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒 此时一只蚂蚁正好在容器外壁 且离容器上沿3cm的点A处 则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 A 图24 11 解析 如答图 将容器侧面展开 建立A关于EF的对称点A 根据两点之间线段最短可知A B的长度即最短路径 如答图 高为12cm 底面周长为10cm 在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒 此时蚂蚁正好在容器外壁 离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处 A D 5cm BD 12 3 AE 12cm 将容器侧面展开 作A关于EF的对称点A 连结A B 则A B即为最短距离 例4答图 1 2015 杭州模拟 如图24 12是一块长 宽 高分别是6cm 4cm和3cm的长方体木块 一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处 沿着长方体的表面到长方体上和A点相对的顶点B处吃食物 那么它需要爬行的最短路径的长是 图24 12 C 解析 如答图 AB就是蚂蚁爬的最短路线 但有三种情况 当AD 3 DB 4 6 10 变式跟进1答图 2 2014 潍坊 我国古代有这样一道数学问题 枯木一根直立地上 高二丈 周三尺 有葛藤自根缠绕而上 五周而达其顶 问葛藤之长几何 题意是 如图24 13所示 把枯木看作一个圆柱体 因一丈是十尺 则该圆柱的高为20尺 底面周长为3尺 有葛藤自点A处缠绕而上 绕五周后其末端恰好到达点B处 则问题中葛藤的最短长度是 尺 25 图24 13 解析 如答图 一条直角边 即枯木的高 长20尺 另一条直角边长5 3 15 尺 故答案为25 点悟 在求几何体表面上两点之间的最短距离时 可以通过把立体图形展开成平面图形 利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的距离 变式跟进2答图 类型之五勾股定理中的逆定理如图24 14 点E是正方形ABCD内的一点 连结AE BE CE 将 ABE绕点B顺时针旋转90 到 CBE 的位置 若AE 1 BE 2 CE 3 则 BE C 解析 首先根据旋转的性质得出 EBE 90 BE BE 2 AE E C 1 进而根据勾股定理的逆定理求出 EE C是直角三角形 进而得出答案 135 图24 14 如答图 连结EE 将 ABE绕点B顺时针旋转90 到 CBE 的位置 AE 1 BE 2 CE 3 EBE 90 BE BE 2 AE E C 1 E E2 E C2 8 1 9 EC2 9 E E2 E C2 EC2 EE C是直角三角形 EE C 90 BE C 135 例5答图 如图24 15 已知AB 4 BC 3 AD 12 DC 13 B 90 则四边形ABCD的面积为 解析 连结AC B 90 AC2 AB2 BC2 16 9 25 AD2 144 DC2 169 AC2 AD2 DC2 CA AD 36 变式跟进答图 图24 15 概念理解误区 c2 a2 b2 0或a b 0 c2 a2 b2或a b 则 ABC为等腰三角形或直角三角形 故答案为等腰三角形或直角三角形 错因 已知等式左边为两个非负数之和 根据两非负数之和为0 两非负数同时为0 可得出c2 a2 b2且a b 利用勾股定理的逆定理可得出 C为直角 进而确定出三角形ABC为等腰直角三角形 正解 等腰直角三角形