《数学分析III》期中考试试题及参考答案.doc

数学分析下册期末试题（模拟）一、填空题（每小题3分，共24分）1、重极限_2、设，则全微分_3、设，则_4、设是以原点为中心，为半径的上半圆周，则_.5、曲面和所截出的曲线在点处的法平面方程是_.6、已知，则_.7、改变累次积分的顺序，_.8、第二型曲面积分_，其中为球面，取外侧.得分评卷人二、单项选择题（每小题2分，共16分）1、下列平面点集，不是区域的是（ ）（A） （B）（C） （D）2、下列论断，正确的是（ ）（A）函数在点处的两个累次极限都不存在，则该函数在处重极限必定不存在.（B）函数在点处的两个累次极限都存在且相等，则该函数在处重极限必定存在.（C）函数在点处的偏导数都存在，则该函数在处可微.（D）函数在点处可微，则该函数在处必定连续.3、方程在原点附近能确定连续可微的隐函数形式是（ ）(A) (B) (C) (D) 以上选项都不对.4、设，其中，则等于（ ）（A） （B） （C） （D）5、设平面曲线：在上具有一阶连续偏导数，且点与的坐标分别为与，又设和为上的连续函数，则沿从到的第二型曲线积分等于 （ ）考生答题不得过此线密封线 任课教师： 教学班号： 姓名： 学号：装订线（A）（B）（C）考生答题不得过此线密封线 任课教师： 教学班号： 姓名： 学号：装订线（D）6、变换：，所对应的函数行列式为（ ）(A) (B) (C) (D) 7、对于任意光滑封闭曲线中，以下第二型曲线积分中为零的是（ ）（A） （B）（C） （D）8、下列积分区域中，既是型又是型的是（ ）(A)是由直线，和所围成的闭区域.(B)是由直线和曲线所围成的闭区域.(C)是由直线，和所围成的闭区域.(D)是由直线，和曲线所围成的闭区域.得分评卷人三、计算题（每小题8分，共48分）1、讨论函数在原点处的连续性，计算和.2、设，求3、设方程组确定了隐函数组，求和考生答题不得过此线密封线 任课教师： 教学班号： 姓名： 学号：装订线4、利用含参量积分计算，其中.5、计算，其中是以为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点到最下面一点.6、利用极坐标变换计算，其中是由圆 与轴所围成的平面区域.得分评卷人考生答题不得过此线密封线 任课教师： 教学班号： 姓名： 学号：装订线四、应用题（每小题6分，共12分）1、求由球面与抛物面所围成的区域的体积.2、某工厂打算建造一个容积为2500长方体仓库，其中仓库顶的造价为200元/，仓库底面造价为300元/，仓库四周造价为100元/，问如何设计可以使仓库的建造成本最小.参考答案及评分标准一、填空题（每小题3分，共24分）1、2 2、 3、4、 5、 （即）6、 7、 8、二、单项选择题（每小题2分，共16分）题号12345678答案DDCABCBB三、计算题（每小题8分，共48分）1、讨论函数在原点处的连续性，计算和.解 首先考虑，当点沿直线趋于时，则有 （2分）由此可见，该极限值随的变化而变化，故此极限不存在，从而函数在原点不连续. （4分）由偏导数的定义， （6分） （8分）2、设，求.解 记，则由复合函数链式法则，. （2分）再记， （3分）（6分） （7分） （8分）3、设方程组确定了隐函数组，求和.解 方程组关于求偏导数得 （3分）解此方程组得， （4分）方程组关于求偏导数得 （7分）解此方程组得，. （8分）4、利用含参量积分计算，其中.解 因为，所以 （2分）.由于被积函数在上连续，（4分）故由含参量积分连续性定理，交换积分顺序得 （6分） （8分）5、计算，其中是以为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点到最下面一点.解 题设中的右半圆周从点到点的参数方程为，其中从到. （3分）又，故第二型曲线积分 （4分） （6分） （8分）6、利用极坐标变换计算，其中是由圆 与轴所围成的平面区域.解 引入极坐标变换， ， （2分）则积分区域在此极坐标变换下变为，（4分）所以， （6分） （8分）四、应用题（每小题6分，共12分）1、求由球面与抛物面所围成的区域的体积.解 设所求区域的体积为，则. （2分）引入柱面坐标变换， ， ，则球面方程变为，抛物面方程变为. （3分）由方程组，消去得在平面上的投影区域的边界曲线方程，. 于是，在柱面坐标下可表示为，（4分）所以，（6分）2、某工厂打算建造一个容积为2500长方体仓库，其中仓库顶的造价为200元/，仓库底面造价为300元/，仓库四周造价为100元/，问如何设计可以使仓库的建造成本最小.解 设仓库的长宽高分别为，则由题设有. 又设建造仓库的成本为，则 （2分）因此，所求问题可归结为在约束条件下，函数的最小值问题. 构造拉格朗日函数 （3分）令，解之得 （5分）即仓库的长、宽、高分别为10，10，25时，造价最小，为150000元.（6分）