幂级数收敛域和函数.ppt

无穷级数 第三节幂级数 第三节幂级数 一 函数项级数 1 定义 函数项级数 是定义在区间I上的函数列 在I中任取一点 就得到一个数项级数 收敛 收敛点 发散 发散点 函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域 2 收敛域 3 和函数 在收敛域内 函数项级数的和依赖于点x 因此其和是x的函数 称为和函数 4 余项 前n项的部分和 在收敛域内才有意义 且 二 幂级数及其收敛性 幂级数 各项都是幂函数的函数项级数 一般形式 特例 系数 1 2 主要讨论 2 因为 1 可以通过变量代换化成 2 1 幂级数的收敛域 x 0时 2 收敛 一般的 幂级数收敛域是一区间 例 由等比级数的性质 时收敛 时发散 则收敛域 1 1 内 注 三种收敛情形 1 仅在x 0处收敛 2 在内处处收敛 3 在 R R 内收敛 端点另外讨论 收敛区间 R 收敛半径 R 0 R 2 收敛半径的求法 定理2 证明略 例求收敛半径和收敛域 x 1时 收敛 x 1时 收敛域是 1 1 发散 收敛域是 仅在x 0点收敛 设x 2 t 由 1 知 收敛域是 1 3 收敛域是 1 1 令 t 3时 t 3时 发散 发散 收敛域是 3 3 收敛域是 缺少偶次项 无法用公式 可以用比值法求R 1时 收敛 1时 发散 则收敛区间为 时 发散 注 缺少奇次项 也可以用此方法 三 幂级数的运算性质 1 四则运算性质 设 收敛半径分别为和 记 则对于任意的 有 利用乘法可以定义除法 则 注意 商级数的收敛半径可能比原来要小得多 2 分析运算性质 1 S x 在收敛域内连续 2 S x 在 R R 内可导 且 即幂级数在 R R 内可以逐项求导 所得到的幂级数收敛半径不变 可推广到任意阶导数 3 S x 在 R R 内可积 且 即幂级数在 R R 内可以逐项积分 所得到的幂级数收敛半径不变 注意 2 3 中端点需要另外讨论 例求和函数 设和函数为S x x 1 设和函数为S x 则 练习