《Rn的标准正交基》PPT课件.ppt

一 Rn的基 2 6Rn的标准正交基 二 Rn的标准正交基 三 正交矩阵 一 Rn的基 n维实向量空间 线性无关 且任一向量可由它们唯一表出 互相垂直 且长度都为1 3个向量在直角坐标系的3个轴上 称为R3的一个基 几何向量的度量性质 1 基的定义 定义1在Rn中 称任意n个线性无关的 向量 1 2 n为Rn的一个基 显然Rn中的向量组 1 1 0 0 T 2 1 0 0 T n 1 0 0 T为Rn的一个基 一般 称 1 2 n为Rn的标准基或自然基 类似地 1 1 0 0 T 2 1 1 0 T n 1 1 1 T也是Rn的一个基 注 任意 Rn 可由 1 2 n为唯一 线性表示 2 向量在基下的坐标 定义2设 1 2 n为Rn的一个基 则对于任意 Rn 可以表为 1 2 n的线 性组合 且表示法唯一 使 a1 1 a2 2 an n 即存在a1 a2 an R 称组合系数a1 a2 an为 在基 1 2 n 下的坐标 记作 a1 a2 an 例1分别求向量 d1 d2 dn T Rn 在标准基 1 2 n和基 1 1 0 0 T 2 1 1 0 T n 1 1 1 T下的坐标 如何推广几何空间R3中向量的度量 点积 长度 夹角 概念及直角坐标系的概念 在3维几何空间中 我们引进了向量的点积 二 Rn的标准正交基 直角坐标系 定义设n维实向量 则 称为向量 与 的内积 显然 T R 1 向量的内积 例如 设 1 1 1 1 T 1 2 0 1 T 则 内积的性质 1 T T 2 k T k T 3 T T T 4 T 0 且 T 0 0 其中 为Rn中的任意向量 k R 由性质 1 2 3 可推出 k1 1 k2 2 T k1 1T k2 2T T k1 1 k2 2 k1 T 1 k2 T 2 2 向量的长度 定义设 a1 a2 an T Rn 称 为向量 的长度 或模 记作 即 如果 1 则称 为单位向量 例如 均为R2中的单位向量 长度的性质 1 0 且 0 0 2 k k 3 T 且 T 线性相关 4 非零向量的单位化 若 0 则 为单位向量 3 向量正交 定义设 Rn 如果 T 0 则称 向量 正交 定义如果一个非零向量组 即该向量组 中的向量都不是零向量 1 2 s s 2 中的向量两两正交 则称 1 2 s为一个 正交向量组 性质 由正交的定义知 零向量与任意向量正交 4 标准正交基 定义如果Rn中的n个向量 1 2 n 满足以下两个条件 1 1 2 n中任意两个向量都正交 2 j 1 j 1 2 n 则称 1 2 n为Rn的一个标准正交基 6 1 4 A 1 AT 设A为n阶实矩阵 则 A为正交矩阵 三 正交矩阵 看看Rn的标准正交基构成怎样的矩阵 正交矩阵的性质 1 若A为正交矩阵 则 A 证明略 2 如果A是正交矩阵 则A 1也是正交矩阵 3 如果A B均为n阶正交矩阵 则AB也是 正交矩阵 例1下列矩阵都是正交矩阵吗 例2 解