五年级不规则图形面积计算.doc

五年级不规则图形面积计算我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。一、例题与方法指导例1如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。思路导航：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（ABG、BDE、EFG）的面积之和。例2如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，ABE、ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积. 思路导航：ABE、ADF与四边形AECF的面积彼此相等，四边形 AECF的面积与ABE、ADF的面积都等于正方形ABCD的。在ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，ECF的面积为222=2。所以SAEF=S四边形AECF-SECF=12-2=10（平方厘米）。BC例3两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。思路导航：在等腰直角三角形ABC中AB=10EF=BF=AB-AF=10-6=4，阴影部分面积=SABG-SBEF=25-8=17（平方厘米）。例4如右图，A为CDE的DE边上中点，BC=CD，若ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求ABD及ACE的面积.思路导航：取BD中点F，连结AF.因为ADF、ABF和ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.ACD的面积等于15平方厘米，ABD的面积等于10平方厘米。又由于ACE与ACD等底、等高，所以ACE的面积是15平方厘米。二、巩固训练1.如右图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘米，它是三角形DEC的面积的，求正方形ABCD的面积。解：过E作BC的垂线交AD于F。在矩形ABEF中AE是对角线，所以SABE=SAEF=8.在矩形CDFE中DE是对角线，所以SECD=SEDF。D2.如右图，已知：SABC=1，AE=ED,BD=BC.求阴影部分的面积。解：连结DF。AE=ED，SAEF=SDEF；SABE=SBED 3.如右图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？解：连结AG，自A作AH垂直于DG于H，在ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）.SAGD=442=8，又DG=5，SAGD=AHDG2，AH=825=3.2（厘米），DE=3.2（厘米）。4.如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.解：梯形面积=（上底+下底）高2即45=（AD+BC）62，45=（AD+10）62，AD=4526-10=5米。ADE的高是2米。 EBC的高等于梯形的高减去ADE的高，即6-2=4米，5.如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.证明：连结CE，ABCD的面积等于CDE面积的2倍，而 DEFG的面积也是CDE面积的2倍。 ABCD的面积与 DEFG的面积相等。（1） 不规则图形面积计算（2）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B之间有：SABSASb-SAB）合并使用才能解决。1、 例题与方法指导例1.如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.例2.如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。解：由容斥原理 S阴影S扇形ACBS扇形ACD-S正方形ABCD例3如右图，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半径AE6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。例4.如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB20厘米，如果阴影（）的面积比阴影（）的面积大7平方厘米，求BC长。分析 已知阴影（）比阴影（）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长.2、 巩固训练1.如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。分析 阴影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中（I）的面积之差。而（I）的面积等于边长为6的正方形的面积减去以6为半径的圆的面积。2.如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取=3）. 解：整个阴影部分被线段CD分为和两部分，以AB为直径的半圆被 弦AD分成两部分，设其中AD右侧的部分面积为S，由于弓形AD是两个半圆的公共部分，去掉AD弓形后，两个半圆的剩余部分面积相等.即=S，由于：3.如右图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积.4.如下页右上图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是半圆的直径，且AB=BC=10，求阴影部分面积（取3.14）。解：三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为对角线再作一个全等的等腰直角三角形ACE，则ABCE为正方形（利用对称性质）。总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：一、 相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了. 二、 相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可. 三、 直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2，高为4的三角形，面积可直接求出来。四、 重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.五、 辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便. 六、 割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半. 七、 平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如右图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。八、 旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180，使A与C重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、 对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。十、重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”（SABSASB-SAB）解决。例如，欲求右图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.2010年五年级奥数题：图形与面积（B）一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）如图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，那么它的周长是_厘米2（3分）第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一小方格的面积是1那么7，2，1三个数字所占的面积之和是_3（3分） 如图中每一小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形面积是_平方厘米4（3分）（2014长沙模拟）如图的两个正方形，边长分别为8厘米和4厘米，那么阴影部分的面积是_平方厘米5（3分）在ABC中，BD=2DC，AE=BE，已知ABC的面积是18平方厘米，则四边形AEDC的面积等于_平方厘米6（3分）如图是边长为4厘米的正方形，AE=5厘米、OB是_厘米7（3分） 如图正方形ABCD的边长是4厘米，CG是3厘米，长方形DEFG的长DG是5厘米，那么它的宽DE是_厘米8（3分）如图，一个矩形被分成10个小矩形，其中有6个小矩形的面积如图所示，那么这个大矩形的面积是_9（3分）如图，正方形ABCD的边长为12，P是边AB上的任意一点，M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，图中阴影部分的面积是_10（3分） 图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米，阴影部分的总面积是10平方厘米，四边形ABCD的面积是_平方厘米二、解答题（共4小题，满分0分）11图中正六边形ABCDEF的面积是54AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积12如图，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米问：大正六角星形面积是多少平方厘米13一个周长是56厘米的大长方形，按图中（1）与（2）所示意那样，划分为四个小长方形在（1）中小长方形面积的比是：A：B=1：2，B：C=1：2而在（2）中相应的比例是A：B=1：3，B：C=1：3又知，长方形D的宽减去D的宽所得到的差，与D的长减去在D的长所得到的差之比为1：3求大长方形的面积14（2012武汉模拟）如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是_2010年五年级奥数题：图形与面积（B）参考答案与试题解析一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）如图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，那么它的周长是170厘米考点：巧算周长菁优网版权所有分析：要求该图形的周长，先求出每个小正方形的面积，根据正方形的面积公式，得出小正方形的边长，然后先算出该图形的外周的长，因为内、外的长相等，再乘2即可得出结论解答：解：40016=25（平方厘米），因为55=25（平方厘米），所以每个小正方形的边长为5厘米，周长为：（54+54+53+52+53+5）2，=852，=170（厘米）；答：它的周长是170厘米点评：此类题解答的关键是先求出每个小正方形的面积，根据正方形的面积公式，得出小正方形的边长，进而算出该图形的外周的长，因为内、外的长相等，再乘2即可得出结论2（3分）第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一小方格的面积是1那么7，2，1三个数字所占的面积之和是25考点：组合图形的面积菁优网版权所有分析：此题需要进行图形分解：“7”分成一个长方形、一个等腰直角三角形、一个平行四边形；“2”分成一个梯形、一个平行四边形、一个长方形；“1”分成一个梯形和两个长方形然后进行图形转换，依据题目条件即可求出结果解答：解：“7”所占的面积和=+3+4=，“2”所占的面积和=3+4+3=10，“1”所占的面积和=+7=，那么7，2，1三个数字所占的面积之和=+10=25故答案为：25点评：此题关键是进行图形分解和转换3（3分） 如图中每一小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形面积是6.5平方厘米考点：组合图形的面积菁优网版权所有分析：由图可以观察出：大正方形的面积减粗线以外的图形面积即为粗线围成的图形面积解答：解：大正方形的面积为44=16（平方厘米）；粗线以外的图形面积为：整格有3个，左上，右上，右中，右下，左中，右中，共有3+5=9.5（平方厘米）；所以粗线围成的图形面积为169.5=6.5（平方厘米）；答：粗线围成的图形面积是6.5平方厘米故此题答案为：6.5点评：此题关键是对图形进行合理地割补4（3分）（2014长沙模拟）如图的两个正方形，边长分别为8厘米和4厘米，那么阴影部分的面积是24平方厘米考点：组合图形的面积菁优网版权所有分析：两个正方形的面积减去两个空白三角形的面积解答：解：44+884（4+8）88，=16+642432，=24（cm2）；答：阴影的面积是24cm2故答案为：24点评：求组合图形面积的化为求常用图形面积的和与差求解5（3分）在ABC中，BD=2DC，AE=BE，已知ABC的面积是18平方厘米，则四边形AEDC的面积等于12平方厘米考点：相似三角形的性质（份数、比例）；三角形的周长和面积菁优网版权所有分析：根据题意，连接AD，即可知道ABD和ADC的关系，ADE和BDE的关系，由此即可求出四边形AEDC的面积解答：解：连接AD，因为BD=2DC，所以，SABD=2SADC，即，SABD=18=12（平方厘米），又因为，AE=BE，所以，SADE=SBDE，即，SBDE=12=6（平方厘米），所以AEDC的面积是：186=12（平方厘米）；故答案为：12点评：解答此题的关键是，根据题意，添加辅助线，帮助我们找到三角形之间的关系，由此即可解答6（3分）如图是边长为4厘米的正方形，AE=5厘米、OB是3.2厘米考点：组合图形的面积菁优网版权所有分析：连接BE、AF可以看出，三角形ABE的面积是正方形面积的一半，再依据三角形面积公式就可以求出OB的长度解答：解：如图连接BE、AF，则BE与AF相交于D点SADE=SBDF则SABE=S正方形=（44）=8（平方厘米）；OB=825=3.2（厘米）；答：OB是3.2厘米故答案为：3.2点评：此题主要考查三角形和正方形的面积公式，将数据代入公式即可7（3分） 如图正方形ABCD的边长是4厘米，CG是3厘米，长方形DEFG的长DG是5厘米，那么它的宽DE是3.2厘米考点：组合图形的面积菁优网版权所有分析：连接AG，则可以依据题目条件求出三角形AGD的面积，因为DG已知，进而可以求三角形AGD的高，也就是长方形的宽，问题得解解答：解：如图连接AGSAGD=S正方形ABCDSCDGSABG，=44342142=1662=8（平方厘米）；825=3.2（厘米）；答：长方形的宽是3.2厘米故答案为：3.2点评：依据题目条件做出合适的辅助线，问题得解8（3分）如图，一个矩形被分成10个小矩形，其中有6个小矩形的面积如图所示，那么这个大矩形的面积是243考点：组合图形的面积菁优网版权所有分析：从图中可以看出每上、下两个小矩形的一个边是相邻的，也就是说长是相等的，那么根据矩形的面积公式知，如果长相同，面积之比也就是宽之比，反之宽之比也就是面积之比；由中间面积20和16的矩形，可以算出空着的小矩形面积，最后把所有小矩形面积加起来就是大矩形的面积解答：解：由图和题意知，中间上、下小矩形的面积比是：20：16=5：4，所以宽之比是5：4，那么，A：36=5：4得A=45；25：B=5：4得B=20；30：C=5：4得C=24；D：12=5：4得D=15；所以大矩形的面积=45+36+25+20+20+16+30+24+15+12=243；故答案为：243点评：此题考查了如果长方形的长相同，宽之比等于面积之比，还考查了比例的有关知识9（3分）如图，正方形ABCD的边长为12，P是边AB上的任意一点，M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，图中阴影部分的面积是60考点：组合图形的面积菁优网版权所有分析：根据题意：正方形ABCD的边长为12，P是边AB上的任意一点，M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，可连接DP，然后再利用三角形的面积公式进行计算即可得到答案解答：解：阴影部分的面积=DHAP+DGAD+EFAD+MNBP=4AP+312+312+4BP=2AP+18+18+2BP=36+2（AP+BP）=36+212=36+24=60答：这个图形阴影部分的面积是60点评：此题主要考查的是三角形的面积公式10（3分） 图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米，阴影部分的总面积是10平方厘米，四边形ABCD的面积是4平方厘米考点：重叠问题；三角形的周长和面积菁优网版权所有分析：因为SEFC+SGHC=四边形EFGH面积2=12，SAEF+SAGH=四边形EFGH面积2=12，所以SABE+SADH=SBFC+SDGC=四边形EFGH面积2阴影部分的总面积是10平方厘米=2平方厘米 所以：四边形ABCD面积=SECH（SABE+SADH）=四边形ABCD面积42=62=4平方厘米解答：解：由题意推出：SABE+SADH=SBFC+SDGC=四边形EFGH面积2阴影面积10平方厘米=2平方厘米所以：四边形ABCD面积=SECH（SABE+SADH）=四边形ABCD面积42=62=4平方厘米故答案为：4点评：此题在重叠问题中考查了三角形的周长和面积公式，此题设计的非常精彩二、解答题（共4小题，满分0分）11图中正六边形ABCDEF的面积是54AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积考点：等积变形（位移、割补）菁优网版权所有分析：如图，将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形，根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，采用数小三角形的办法来计算面积解答：解：如图，SPEF=3，SCDE=9，S四边形ABQP=11上述三块面积之和为3+9+11=23因此，阴影四边形CEPQ面积为5423=31点评：此题主要利用面积分割，用数基本小三角形面积来解决问题12如图，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米问：大正六角星形面积是多少平方厘米考点：等积变形（位移、割补）菁优网版权所有分析：由图及题意知，可把涂阴影部分小正六角星形等分成12个小三角形，且都与外围的6个空白小三角形面积相等，已知涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，可求出大正六角星形中心正六边形的面积，而这个正六边形又可等分成6个小正三角形，且它们与外围六个大角的面积相等，进而可求出大正六角星形面积解答：解：如下图所示，涂阴影部分小正六角星形可等分成12个小三角形，且都与外围的6个空白小三角形面积相等，所以正六边形ABCDEF的面积：1612（12+6）=24（平方厘米）；又由于正六边形ABCDEF又可等分成6个小正三角形，且它们与外围六个大角的面积相等，所以大正六角星形面积：242=48（平方厘米）；答：大正六角星形面积是48平方厘米点评：此题要借助求正六边形的面积来解答，它既可看作是18个小正三角形，又可看作是6个大点的正三角形组成13一个周长是56厘米的大长方形，按图中（1）与（2）所示意那样，划分为四个小长方形在（1）中小长方形面积的比是：A：B=1：2，B：C=1：2而在（2）中相应的比例是A：B=1：3，B：C=1：3又知，长方形D的宽减去D的宽所得到的差，与D的长减去在D的长所得到的差之比为1：3求大长方形的面积考点：比的应用；图形划分菁优网版权所有分析：要求大长方形的面积，需求出它的长和宽，由条件“在（1）中小长方形面积的比是：A：B=1：2，B：C=1：2而在（2）中相应的比例是A：B=1：3，B：C=1：3又知，长方形D的宽减去D的宽所得到的差，与D的长减去在D的长所得到的差之比为1：3”可知：D的宽是大长方形宽的，D的宽是大长方形宽的，D的长是（28大长方形的宽），D的长是（28大长方形的宽），由此便可以列式计算解答：解：设大长方形的宽为x，则长为28x 因为D的宽=x，D的宽=x，所以，D的宽D的宽=D长=（28x），D长=（28x），D长D长=（28x），由题设可知：=即 =，于是=，x=8于是，大长方形的长=288=20，从而大长方形的面积为820=160平方厘米答：大长方形的面积是160平方米点评：此题比较复杂，主要考查比的关系，应利用比的意义，找清数量见的比，再利用题目条件，就可以进行计算求得结果14（2012武汉模拟）如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是40考点：三角形的周长和面积菁优网版权所有分析：可以把SADE看成是一个整体，根据各线段的关系和左右两部分面积的关系，可以列出一个方程，求出SADE的面积，然后再根据所求三角形与SADE的关系求出答案解答：解：由题意知，SAEG=3SADE，SBFE=SBEC，设SADE=X，则SAEG=3X，SBFE=（38X），可列出方程：（38X）+3X=65，解方程，得：x=10，所以SADG=10（1+3）=40故答案为：40点评：此题考查了如何利用边的关系求三角形的面积