空间向量专题练习答案.doc

空间向量专题练习一、填空题(本大题共4小题，共20.0分)1.平面的法向量为（1，0，-1），平面的法向量为（0，-1，1），则平面与平面所成二面角的大小为 _ 【答案】 3或23 【解析】 解：设平面的法向量为m=（1，0，-1），平面的法向量为n=（0，-1，1）， 则cosm，n=10+0(1)+(1)122=-12， m，n=23 平面与平面所成的角与m，n相等或互补， 与所成的角为3或23 故答案为：3或23 利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出 本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能力，属于基础题 2.平面经过三点A（-1，0，1），B（1，1，2），C（2，-1，0），则平面的法向量u可以是 _ （写出一个即可）【答案】 （0，1，-1） 【解析】 解：AB=（2，1，1），AC=（3，-1，-1）， 设平面的法向量u=（x，y，z）， 则uAB=2x+y+z=0uAC=3xyz=0，令z=-1，y=1，x=0 u=（0，1，-1） 故答案为：（0，1，-1） 设平面的法向量u=（x，y，z），则uAB=2x+y+z=0uAC=3xyz=0，解出即可 本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于基础题 3.已知AB=（1，0，2），AC=（2，1，1），则平面ABC的一个法向量为 _ 【答案】 （-2，3，1） 【解析】 解：AB=（1，0，2），AC=（2，1，1）， 设平面ABC的法向量为n=（x，y，z）， 则nAB=0nAC=0，即x+2z=02x+y+z=0，取x=-2，则z=1，y=3 n=（-2，3，1） 故答案为：（-2，3，1） 设平面ABC的法向量为n=（x，y，z），则nAB=0nAC=0，解出即可 本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于基础题 4.在三角形ABC中，A（1，-2，-1），B（0，-3，1），C（2，-2，1），若向量n与平面ABC垂直，且|n|=21，则n的坐标为 _ 【答案】 （2，-4，-1）或（-2，4，1） 【解析】 解：设平面ABC的法向量为m=（x，y，z）， 则mAB=0，且mAC=0， AB=（-1，-1，2），AC=（1，0，2）， xy+2z=0x+2z=0， 即x=2zy=4z， 令z=1，则x=-2，y=4， 即m=（-2，4，1）， 若向量n与平面ABC垂直， 向量nm， 设n=m=（-2，4，）， |n|=21， 21|=21， 即|=1， 解得=1， n的坐标为（2，-4，-1）或（-2，4，1）， 故答案为：（2，-4，-1）或（-2，4，1） 根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结论 本题主要考查空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本题的关键 二、解答题(本大题共3小题，共36.0分)5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，BAD=60，Q为AD的中点 （1）若PA=PD，求证：平面PQB平面PAD； （2）点M在线段PC上，PM=13PC，若平面PAD平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小 【答案】 解：（1）证明：由题意知：PQAD，BQAD，PQBQ=Q， AD平面PQB， 又AD平面PAD， 平面PQB平面PAD （2）PA=PD=AD，Q为AD的中点， PQAD， 平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD， PQ平面ABCD， 以Q这坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴， 建立如图所求的空间直角坐标系， 由题意知：Q（0，0，0），A（1，0，0）， P（0，0，3），B（0，3，0），C（-2，3，0） QM=23QP+13QC=（-23，33，233）， 设n1是平面MBQ的一个法向量，则n1QM=0，n1QB=0， 3y=023x+33y+233z=0，n1=(3，0，1)， 又n2=(0，0，1)平面BQC的一个法向量， cosn1，n2=12， 二面角M-BQ-C的大小是60 【解析】 （1）由题设条件推导出PQAD，BQAD，从而得到AD平面PQB，由此能够证明平面PQB平面PAD （2）以Q这坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小 本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC=2，点E是PC的中点，F在直线PA上 （1）若EFPA，求PFPA的值； （2）求二面角P-BD-E的大小 【答案】 解：（1）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD， 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系， PD=DC=2，点E是PC的中点，F在直线PA上， P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，1）， 设F（a，0，c），PF=PA，则（a，0，c-2）=（2，0，-2）=（2，0，-2）， a=2，c=2-2，F（2，0，2-2）， EF=（2，-1，1-2），PA=（2，0，-2）， EFPA，EFPA=4-2+4=0，解得=14， PFPA=14 （2）P（0，0，2），B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，1，1）， DP=（0，0，2），DB=（2，2，0），DE=（0，1，1）， 设平面BDP的法向量n=（x，y，z）， 则nDB=2x+2y=0nDP=2z=0，取x=1，得n=（1，-1，0）， 设平面BDE的法向量m=（x，y，z）， 则mDB=2x+2y=0mDE=y+z=0，取x=1，得m=（1，-1，1）， 设二面角P-BD-E的大小为， 则cos=|mn|m|n|=223=63 二面角P-BD-E的大小为arccos63 【解析】 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PFPA的值 （2）求出平面BDP的法向量和设平面BDE的法向量，由此能求出二面角P-BD-E的大小 本题考查线段比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 7.如图所示的几何体是由棱台ABC-A1B1C1和棱锥D-AA1C1C拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且BAD=60，BB1平面ABCD，BB1=2A1B1=2 （）求证：平面AB1C平面BB1D； （）求二面角A1-BD-C1的余弦值 【答案】 （）证明：BB1平面ABCD，BB1AC， ABCD是菱形，BDAC， 又BDBB1=B，AC平面BB1D， AC平面AB1C，平面AB1C平面BB1D； （）设BD、AC交于点O，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OD为y轴，建立如图所示空间直角坐标系 则B(0，1，0)，D(0，1，0)，B1(0，1，2)，A(3，0，0)，A1(32，12，2)，C1(32，12，2)， BA1=(32，12，2)，BD=(0，2，0)，BC1=(32，12，2) 设平面A1BD的法向量n=(x，y，z)， 由nBA1=32x+12y+2z=0nBD=2y=0，取z=3，得n=(4，0，3)， 设平面DCF的法向量m=(x，y，z)， 由mBD=2y=0mBC1=32x+12y+2=0，取z=3，得m=(4，0，3) 设二面角A1-BD-C1为， 则cos=|mn|m|n|=1319 【解析】 （）由BB1平面ABCD，得BB1AC，再由ABCD是菱形，得BDAC，由线面垂直的判定可得AC平面BB1D，进一步得到平面AB1C平面BB1D； （）设BD、AC交于点O，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OD为y轴，建立如图所示空间直角坐标系求出所用点的坐标，得到平面A1BD与平面DCF的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A1-BD-C1的余弦值 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题 高中数学试卷第5页，共6页