双曲线知识点总结例题.doc

（二）双曲线知识点及巩固复习1.双曲线的定义 如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线 若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若|PF1|-|PF2|=2a02a|F1F2|则动点P的轨迹是 2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 2a=0则动点P的轨迹是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a02a|F1F2|则动点P的轨迹是 2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 2a=0则动点P的轨迹是 2.双曲线的标准方程 3.双曲线的性质 （1）焦点在x轴上的双曲线标准方程 x,y的范围 顶点 焦点 对称轴 对称中心 实半轴的长 虚半轴的长 焦距 离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越 准线 渐近线 焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（1） 焦点在y轴上的双曲线 标准方程 x,y的范围 顶点 焦点 对称轴 对称中心 实半轴的长 虚半轴的长 焦距 离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越 准线 渐近线 焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)1. 等轴双曲线：特点实轴与虚轴长相等渐近线互相垂直离心率为 2. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点有共同的渐近线四焦点共圆 双曲线的共轭双曲线是 6.双曲线系（1） 共焦点的双曲线的方程为(0k B.1e C.1e【例8】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）A B C. D【评注】解题中发现PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.渐近线双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例9】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置. 共轭双曲线 虚、实易位的孪生弟兄将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例10】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.设而不求与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：【例11】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A. B. C. D. “设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：【例12】在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：练习1(2011安徽高考)双曲线2x2y28的实轴长是( )A2 B2 C4 D42(2011山东高考)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A.1 B.1 C.1 D.13.(2012嘉兴测试)如图，P是双曲线y21右支(在第一象限内)上的任意一点，A1，A2分别是左、右顶点，O是坐标原点，直线PA1，PO，PA2的斜率分别为k1，k2，k3，则斜率之积k1k2k3的取值范围是( )A(0,1) B(0，) C(0，) D(0，)4(金榜预测)在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(5,0)和C(5,0)，顶点B在双曲线1上，则为( )A. B. C. D.5P为双曲线1的右支上一点，M、N分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为( )A6 B7 C8 D96(2012南宁模拟)已知点F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.1 B.1 C2 D27方程1表示双曲线那么m的取值范围是_8(2012大连测试)在双曲线4x2y21的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA|OB|15，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是_9双曲线1(a0，b0)的离心率是2，则的最小值是_10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(3,0)，一条渐近线的方程是 x2y0.(1)求双曲线C的方程；(2)若以k(k0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围11(文用)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围12已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l经过A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论 13已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。14已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？ （二）双曲线知识点及巩固复习1.双曲线的定义 如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线 若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若|PF1|-|PF2|=2a02a|F1F2|则动点P的轨迹是 2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 2a=0则动点P的轨迹是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a02a|F1F2|则动点P的轨迹是 2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 2a=0则动点P的轨迹是 2.双曲线的标准方程 3.双曲线的性质 （1）焦点在x轴上的双曲线标准方程 x,y的范围 顶点 焦点 对称轴 对称中心 实半轴的长 虚半轴的长 焦距 离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越 准线 渐近线 焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（2） 焦点在y轴上的双曲线 标准方程 x,y的范围 顶点 焦点 对称轴 对称中心 实半轴的长 虚半轴的长 焦距 离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越 准线 渐近线 焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)3. 等轴双曲线：特点实轴与虚轴长相等渐近线互相垂直离心率为 4. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点有共同的渐近线四焦点共圆 双曲线的共轭双曲线是 6.双曲线系（3） 共焦点的双曲线的方程为(0k B.1e C.1e【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握，但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与之相交.故有如下妙解.【解析】如图设直线的倾斜角为，双曲线渐近线的倾斜角为.显然。当时直线与双曲线的两个交点分别在左右两支上.由. 双曲线中，故取e.选D. 【例6】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）A B C. D【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：.设；于是，故知PF1F2是直角三角形，F1P F2=90.选B.【评注】解题中发现PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.渐近线双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例7】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为点（1，3）代入：.代入（1）：即为所求.【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置. 共轭双曲线 虚、实易位的孪生弟兄将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例8】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.【证明】双曲线的离心率；双曲线的离心率. 考点5、直线与双曲线位置关系 设而不求与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：【例9】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A. B. C. D. 【解析】设弦的两端分别为.则有：.弦中点为（2，1），.故直线的斜率.则所求直线方程为：，故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：【例10】在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：.M（1，1）为弦AB的中点，故存在符合条件的直线AB，其方程为：.这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：其一：将点M（1，1）代入方程，发现左式=1-1，故点M（1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB的斜率，而双曲线的渐近线为.这里，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由这里，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.此外，上述解法还疏忽了一点：只有当时才可能求出k=2.若.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线. 练习1(2011安徽高考)双曲线2x2y28的实轴长是( )A2 B2 C4 D4解析：2x2y28化为标准形式：1，a24.a2.实轴长2a4.2(2011山东高考)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A.1 B.1 C.1 D.1解析：由题意得，1(a0，b0)的两条渐近线方程为yx，即bxay0，又圆C的标准方程为：(x3)2y24，半径为2，圆心坐标为(3,0)a2b2329，且2，解得a25，b24.该双曲线的方程为1.3.(2012嘉兴测试)如图，P是双曲线y21右支(在第一象限内)上的任意一点，A1，A2分别是左、右顶点，O是坐标原点，直线PA1，PO，PA2的斜率分别为k1，k2，k3，则斜率之积k1k2k3的取值范围是( )A(0,1) B(0，) C(0，) D(0，)解析：设P(x，y)，则(0，)，且x244y2(x0，y0)，k1k2k3(0，)4(金榜预测)在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(5,0)和C(5,0)，顶点B在双曲线1上，则为( )A. B. C. D.解析：由题意得a4，b3，c5. A、C为双曲线的焦点，|BC|BA|8，|AC|10.由正弦定理得.5P为双曲线1的右支上一点，M、N分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为( )A6 B7 C8 D9解析：易知两圆圆心为F1(5,0)，F2(5,0)由双曲线方程知a3，b4，则c5，故两圆心恰好为双曲线的两个焦点|PM|PN|的最大值为如图所示的情况，即|PM|PN|PF1|F1M|(|PF2|NF2|)|PF1|2|PF2|12a32339.6(2012南宁模拟)已知点F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.1 B.1C2 D2解析：不妨设P点在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a.PF1F2是等腰直角三角形，只能是PF2F190，|PF2|F1F2|2c，|PF1|2a|PF2|2a2c，(2a2c)22(2c)2，即c22aca20，两边同除以a2，得e22e10.e1，e1.7方程1表示双曲线那么m的取值范围是_解析：注意分两种情况一是实轴在x轴上，二是实轴在y轴上依题意有或得m3或3m2.8(2012大连测试)在双曲线4x2y21的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA|OB|15，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是_解析：双曲线4x2y21的两条渐近线方程为2xy0，设A(m,2m)，B(n，2n)，AB中点M(x，y)，则即所以4x2y24mn.由|OA|OB|m|n|15，得|mn|3，所以AB中点的轨迹方程是4x2y212，即1.9双曲线1(a0，b0)的离心率是2，则的最小值是_解析：24a2b24a23a2b2，则a2，当a，即a时取最小值. 10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(3,0)，一条渐近线的方程是 x2y0.(1)求双曲线C的方程；(2)若以k(k0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围解：(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)，由题设得5解得所以双曲线C的方程为： (2)设直线l的方程为：1. ykxm(k0)，则点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方程组得1，整理得(54k2)x28kmx4m2200.此方程有两个不等实根，于是54k20，且(8km)24(54k2)(4m220)0，整理得m254k20.由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x0，y0)满足x0，y0kx0m，从而线段MN的垂直平分线的方程为y(x)此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为(，0)，(0，)，由题设可得|，整理得m2，k0.将上式代入式得54k20，整理得(4k25)(4k2|k|5)0，k0，解得0|k|或|k|.所以k的取值范围是(，)(，0)(0，)(，)10(文用)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围解：(1)设双曲线方程为1(a0，b0)由已知得a，c2.又a2b2c2，得b21.故双曲线C的方程为y21.(2)联立整理得，(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，可得m23k21且k2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)，则x1x2，x0，y0kx0m.由题意，ABMN，kAB(k0，m0)整理得3k24m1.将代入，得m24m0，m0或m4.又3k24m10(k0)，即m.m的取值范围是(，0)(4，)11已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l经过A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论 解 (1)如图，设双曲线方程为=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求双曲线方程为=1 (2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐标为(2，2）假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2) 则有，kl=l的方程为y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0 =164280,所求直线l不存在 12已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。 错解 设符合题意的直线存在，并设、 则 （1）得 因为A（1，1）为线段PQ的中点， 所以 将(4)、(5)代入（3）得 若，则直线的斜率 所以符合题设条件的直线存在。 其方程为 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的基础上，再由 得 根据,说明所求直线不存在。13已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？解：（1）设直线AB：代入得 （） 令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根 且 N是AB的中点 k = 1 AB方程为：y = x + 1 （2）将k = 1代入方程（）得 或 由得， ， CD垂直平分AB CD所在直线方程为 即代入双曲线方程整理得 令，及CD中点则， ， |CD| =， ，即A、B、C、D到M距离相等 A、B、C、D四点共圆