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江西省南昌市第十中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 下列各式：aa0001，33，4，其中正确的有（）A. B. C. D. 2. 函数y=12x的定义域为集合A，函数y=ln（2x+1）的定义域为集合B，则AB=（）A. (12,12B. (12,12)C. (,12)D. 12,+)3. 函数y=loga（2x-1）-1（a0，且a1）的图象过定点（）A. (12,1)B. (1,1)C. (1,0)D. (12,0)4. 下列函数中，增长速度最快的是（）A. y=5xB. y=x5C. y=log5xD. y=5x5. 已知a=2log52，b=21.1，c=(12)0.8，则a、b、c的大小关系是（）A. .acbB. cbaC. abcD. bca6. 已知P=a，b，Q=-1，0，1，f是从P到Q的映射，则满足f（a）=0的映射的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 函数f（x）=22x+1log3x的定义域为（）A. x|x1B. x|0x1C. x|018. 已知函数f（x）=ax2-x+a+1在（-，2）上单调递减，则a的取值范围是（）A. 0,4B. 2,+)C. 0,14D. (0,149. 设定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y满足f（x）+f（y）=f（x+y），且f（2）=4，则f（0）+f（-2）的值为（）A. 2B. 4C. 0D. 410. 函数f（x）=1+log2x与g（x）=2-（x-1）在同一直角坐标系下的图象大致是（）A. B. C. D. 11. 若函数f（x）=ax6,x7(3a)x3,x7单调递增，则实数a的取值范围是（）A. (94,3)B. 94,3)C. (1,3)D. (2,3)12. 已知函数f（x），若在其定义域内存在实数x满足f（-x）=-f（x），则称函数f（x）为“局部奇函数”，若函数f（x）=4x-m2x-3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（）A. 3,3)B. 2,+)C. (,22D. 22,3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 计算：log327+lg25+lg4+7log72-(827)13=_14. 函数f（x）=（n2-n-1）xn是幂函数，且在x（0，+）上是减函数，则实数n=_15. 函数y=ln（x2+3x-4）的单调递减区间是_16. 下列几个命题：方程x2+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a0；函数y=x21+1x2是偶函数，但不是奇函数；函数f（x）的值域是-2，2，则函数f（x+1）的值域为-3，1；一条曲线y=|3-x2|和直线y=a（aR）的公共点个数是m，则m的值不可能是1其中正确的有_三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设全集为R，A=x|2x5，B=x|3x8，C=x|a-1x2a（1）求AB及R（AB）；（2）若（AB）C=，求实数a的取值范围18. 已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x0时，f（x）=x（2-x）（1）在给定的图示中画出函数f（x）的图象（不需列表）（2）求函数f（x）的解析式；（3）若方程f（x）=2a有四个根，求实数a的取值范围19. 已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=-2x+1且f（2）=15（1）求函数f（x）的解析式；（2）令g（x）=（2-2m）x-f（x）；若函数g（x）在x0，2上是单调函数，求实数m的取值范围；求函数g（x）在x0，2的最小值20. 已知函数f（3x-2）=x-1（x0，2），函数g（x）=f（x-2）+3（1）求函数y=f（x）的解析式与定义域；（2）求函数y=g（x）的解析式与定义域21. 已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义域为（-1，1）上的奇函数，且a0（1）用定义证明：函数f（x）在（-1，1）上是增函数，（2）若实数t满足f（2t-1）+f（t-1）0，求实数t的范围22. 已知指数函数f（x）的图象经过点（-1，3），g（x）=f2（x）-2af（x）+3在区间-1，1的最小值h（a）；（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）的最小值h（a）的表达式；（3）是否存在m，nR同时满足以下条件：mn3；当h（a）的定义域为n，m时，值域为n2，m2；若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由答案和解析1.【答案】B【解析】解：任何集合是它本身的子集，正确； 空集是任何非空集合的真子集，正确； 0表示元素，应为00，错误； 13，4，1，3不是3，4的真子集，错误； 正确的为 故选：B根据子集，真子集的定义，以及元素与集合的关系即可判断每个式子的正误，从而找到正确选项考查任何集合和它本身的关系，空集和任何非空集合的关系，以及元素与集合的关系，真子集的定义2.【答案】A【解析】解：由函数有意义，得到1-2x0，解得：x，所以集合A=x|x；由函数y=ln（2x+1）有意义，得到2x+10，解得：x-，所以集合B=x|x-，在数轴上画出两集合的解集，如图所示：则AB=（-，故选：A根据负数没有平方根列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为集合A，根据负数和0没有对数列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为集合B，然后求出两集合的交集即可此题属于以函数的定义域为平台，考查了交集的运算此类题往往借助数轴来计算，会收到意想不到的收获3.【答案】B【解析】解：令2x-1=1，求得x=1，y=-1，函数y=loga（2x-1）-1（a0，且a1）的图象过定点（1，-1）， 故选：B令对数函数的真数等于1，求得x、y的值，可得它的图象过定点的坐标本题主要考查对数函数的单调性和特殊值，属于基础题4.【答案】D【解析】解：选项A、B、C、D分别为正比例函数，幂函数，对数函数，指数函数； 故选：D由题意，指数函数增长速度最快本题考查了基本初等函数的增长速度变化，属于基础题5.【答案】A【解析】解：a=2log52，b=21.1，c=，a=2log52=log541，b=21.12，c=2，1c2根据函数y=2x单调性判断：bca，故选：A转化为同底数：a=2log52=1，b=21.1，c=，根据函数y=2x单调性判断答案本题考查了指数函数的单调性，属于容易题6.【答案】C【解析】解：P=a，b，Q=-1，0，1，f是从P到Q的映射， 由f（a）=0，可得f（b）=-1，0，1三种情况， 即为映射的个数为3， 故选：C由映射的定义可得f（b）=-1，0，1三种情况，即可得到映射的个数本题考查映射的定义和应用，考查定义法的运用，属于基础题7.【答案】B【解析】解：要使函数有意义，则，即，得0x1，即函数的定义域为x|0x1，故选：B根据函数成立的条件即可求函数的定义域本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础8.【答案】C【解析】解：对函数求导y=2ax-1，函数在（-，2）上单调递减，则导数在（-，2）上导数值小于等于0，当a=0时，y=-1，恒小于0，符合题意；当a0时，因函导数是一次函数，故只有a0，且最小值为y=2a2-10，a，a0，故选：C对函数求导，函数在（-，2）上单调递减，可知导数在（-，2）上导数值小于等于0，可求出a的取值范围本题主要二次函数的性质、考查函数的导数求解和单调性的应用属于基础题9.【答案】B【解析】解：由题意令x=y=0，则有f（0）+f（0）=f（0），故得f（0）=0 令x=2，y=-2，则有f（-2）+f（2）=f（0）=0， 又f（2）=4 f（-2）=-4 f（0）+f（-2）=-4 故选：B观察题设条件可先令x=y=0求出f（0），再令x=2，y=-2求出f（-2），代入求f（0）+f（-2）的值本题考查函数的值，解题的关键是理解所给的恒等式，且根据其进行灵活赋值求出f（0），f（-2）的值10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=1+log2x是增函数，过（1，1）点，g（x）=2-（x-1）=是减函数，过（0，1）点，可知两个函数的图象只有C满足题意故选：C利用两个函数的单调性以及经过的特殊点图象经过即可本题考查函数的图象的判断与应用，考查基本函数的单调性以及特殊点的判断，是基础题11.【答案】B【解析】解：函数f（x）=单调递增，由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得3-a0且a1但应当注意两段函数在衔接点x=7处的函数值大小的比较，即（3-a）7-3a，可以解得a，综上，实数a的取值范围是，3）故选：B利用函数的单调性，判断指数函数的对称轴，以及一次函数的单调性列出不等式求解即可本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题12.【答案】B【解析】解：根据“局部奇函数”的定义可知，函数f（-x）=-f（x）有解即可；即4-x-m2-x-3=-（4x-m2x-3）；4x+4-x-m（2x+2-x）-6=0；即（2x+2-x）2-m（2x+2-x）-8=0有解即可；设2x+2-x=t（t2），则方程等价为t2-mt-8=0在t2时有解；设g（t）=t2-mt-8，对称轴为；若m4，则=m2+320，满足方程有解；若m4，要使t2-mt-8=0在t2时有解，则需：；解得-2m4；综上得实数m的取值范围为-2，+）故选：B根据“局部奇函数“的定义便知，若函数f（x）是定义在R上的“局部奇函数”，只需方程（2x+2-x）2-m（2x+2-x）-8=0有解可设2x+2-x=t（t2），从而得出需方程t2-mt-8=0在t2时有解，从而设g（x）=t2-mt-8，得出其对称轴为，从而可讨论m的值，求出每种情况下m的范围，再求并集即可考查奇函数的定义，理解“局部奇函数”的定义，完全平方式的运用，换元法的应用，熟悉二次函数的图象13.【答案】4【解析】解：原式=+lg（254）+2-=4故答案为：4利用对数和指数的运算性质即可得出本题考查了对数和指数的运算性质，属于基础题14.【答案】-1【解析】解：函数f（x）=（n2-n-1）xn是幂函数， n2-n-1=1， 解得n=-1或n=2； 当n=-1时，f（x）=x-1，在x（0，+）上是减函数，满足题意； 当n=2时，f（x）=x2，在x（0，+）上是增函数，不满足题意 综上，n=-1 故答案为：-1根据幂函数的定义与性质，求出n的值即可本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题15.【答案】（-，-4）【解析】解：设t=x2+3x-4，则y=lnt为关于t的增函数， 由t=x2+3x-40得x1或x-4， 即函数的定义域为（-，-4）（1，+）， 要求函数y=ln（x2+3x-4）的单调递减区间，等价为求t=x2+3x-4，（x1或x-4）的单调递减区间， 当x-4时，函数t=x2+3x-4为减函数， 即函数t=x2+3x-4的单调递减区间为（-，-4）， 即函数y=ln（x2+3x-4）的单调递减区间是（-，-4）， 故答案为：（-，-4）利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法，结合对数函数以及一元二次函数的单调性之间的关系是解决本题的关键注意要先求定义域16.【答案】【解析】解：对于，方程x2+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，由一元二次方程根与系数关系，得x1x2=a0，故正确；对于，函数的定义域为x|x=1定义域中只有两个元素，并且f（1）=f（-1）=0，说明函数是既奇又偶函数，故错；对于，函数f（x+1）的图象可看作是由函数f（x）的图象向左平移一个单位而得，因此函数f（x+1）的值域与函数f（x）的值域相同，都是-2，2，故错；对于，对于曲线y=|3-x2|，设函数F（x）=|3-x2|因为F（x）满足F（-x）=F（x）成立，所以函数F（x）是偶函数当x0时，若F（x）=a成立，必有互为相反数的x值（至少两个x）都适合方程，又F（0）=F（）=3，a=3时，F（x）=a的根除0外还有，共3个根方程F（x）=a的根的个数是2个或2个以上，不可能是1个，原命题“曲线y=|3-x2|和直线y=a（aR）的公共点个数是m，则m的值不可能是1”成立，故正确故答案为：解：对各项依次加以判断：利用一元二次方程根与系数的关系，得到命题正确；通过化简，得函数y=+=0，定义域为1，-1，函数是一个既奇又偶函数，得到错误；通过函数图象的平移，得到函数f（x+1）的值域与函数f（x）的值域相同，都是-2，2，得到错误；通过分析函数y=|3-x2|的奇偶性，可得曲线y=|3-x2|和直线y=a（aR）的公共点个数是2个、3个或4个，得到正确本题通过研究函数的定义域、值域、奇偶性和函数的零点等问题，考查了命题真假的判断与应用，属于中档题17.【答案】解：（1）因为A=x|2x5，B=x|3x8，所以AB=x|3x5，R（AB）=x|x3或x5（2）因为AB=x|3x5，（AB）C=，当C=时，a-12a，解得a-1；当C时，2a3a12a或a15a12a，解得-1a32或a6综上，实数a的取值范围是（-，326，+）【解析】（1）由A=x|2x5，B=x|3x8，能求出AB及R（AB）（2）由AB=x|3x5，（AB）C=，当C=时，a-12a，当C时，或，由此能求出实数a的取值范围本题考查交集、并集、补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、并集、补集、子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题18.【答案】解：（1）x0时，f（x）=x（2-x）；f（x）的图象过（0，0），（2，0），（1，1），从而可画出f（x）在0，+）上的图象，根据偶函数的图象对称性即可画出f（x）在（-，0）上的图象，图象如下：（2）设x0，-x0，则：f（-x）=-x（x+2）=f（x）；f(x)=x(2x)x0x(x+2)x0；（3）由图象可知，02a1；0a12；实数a的取值范围为(0，12)【解析】（1）容易画出x0时f（x）的图象，然后根据偶函数图象根据y轴对称即可画出x0时的f（x）的图象； （2）可设x0，从而得出-x0，从而可求出x0时的解析式，这样即可得出f（x）的解析式； （3）根据图象即可看出a满足：02a1，解出a的范围即可考查偶函数的定义，偶函数图象的对称性，二次函数图象的画法，求偶函数对称区间上解析式的方法，数形结合解题的方法19.【答案】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，f（2）=15，f（x+1）-f（x）=-2x+1，4a+2b+c=15；a（x+1）2+b（x+1）+c-（ax2+bx+c）=-2x+1；2a=-2，a+b=1，4a+2b+c=15，解得a=-1，b=2，c=15，函数f（x）的表达式为f（x）=-x2+2x+15；（2）g（x）=（2-2m）x-f（x）=x2-2mx-15的图象是开口朝上，且以x=m为对称轴的抛物线，若函数g（x）在x0，2上是单调函数，则m0，或m2；当m0时，g（x）在0，2上为增函数，当x=0时，函数g（x）取最小值-15；当0m2时，g（x）在0，m上为减函数，在m，2上为增函数，当x=m时，函数g（x）取最小值-m2-15；当m2时，g（x）在0，2上为减函数，当x=2时，函数g（x）取最小值-4m-11；函数g（x）在x0，2的最小值为15，m0m215，0m24m11，m2【解析】（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得 （2）函数g（x）的图象是开口朝上，且以x=m为对称轴的抛物线， 若函数g（x）在x0，2上是单调函数，则m0，或m2； 分当m0时，当0m2时，当m2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键20.【答案】解：（1）设t=3x-2，0x2，-13x-27，t-1，7，则x=log3（t+2），于是有f（t）=log3（t+2）-1，t-1，7 f（x）=log3（x+2）-1（x-1，7），（2）根据题意得g（x）=f（x-2）+3=log3x+2 又由-1x-27得1x9 g（x）=log3x+2（x1，9）【解析】设t=3x-2，于是有f（t）=log3（t+2）-1，求出t的范围，把t换为x，可得f（x）的解析式，进一步可求g（x）的解析式，再根据解析式求函数f（x）与g（x）的定义域；本题主要考查求函数的定义域，同时考查求函数的解析式，换元法是解题的关键21.【答案】解：（1）函数f(x)=ax+b1+x2是定义域为（-1，1）上的奇函数，f（0）=b1=0，b=0，f(x)=ax1+x2（2分）任取x1，x2（-1，1），且x1x2，f（x1）-f（x2）=ax11+x12-ax21+x22=a(x1+x1x22x2x2x12)(1+x12)(1+x22)=a(x1x2)(1x1x2)(1+x12)(1+x22)，a0，-1x1x21，x1-x20，1-x1x20，1+x120，1+x220，函数f（x）在（-1，1）上是增函数（6分）（2）f（2t-1）+f（t-1）0，f（2t-1）-f（t-1），函数f(x)=ax+b1+x2是定义域为（-1，1）上的奇函数，且a0f（2t-1）f（1-t），函数f（x）在（-1，1）上是增函数，2t11t12t1111t1，解得0t23故实数t的范围是（0，23）（10分）【解析】（1）由函数是定义域为（-1，1）上的奇函数，求出b=0，从而，利用定义法能证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数；（2）推导出f（2t-1）f（1-t），由函数f（x）在（-1，1）上是增函数，列出不等式组，由此能求出实数t的范围本题考查函数单调性的证明，考查实数的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题22.【答案】解：（1）设f（x）=ax，a0且a1，指数函数f（x）的图象经过点（-1，3），a-1=3，即a=13，f（x）=（13）x，（2）令t=（13）x，x-1，1，t13，3，g（x）=k（t）=t2-2at+3，对称轴为t=a，当a13时，k（t）在13，3上为增函数，此时当t=13时，h（a）=k（13）=289-2a3当13a3时，k（t）在13，a上为减函数，在a，3上为增函数，此时当t=a时，h（a）=-a2+3，当a3时，k（t）在13，3上为减函数，此时当t=3时，h（a）=12-6a，h（a）=28923a，a13a2+3，13a3126a，a3（3）由（2）得mn3时，h（a）=12-6a在n，m中为减函数，若此时h（a）值域为n2，m2则126m=n2126n=m2，即6（m-n）=（m-n）（m+n），即m+n=6，与mn3矛盾，故不存在满足条件的m，n的值【解析】（1）设f（x）=ax，a0且a1，代值计算即可求出， （2）利用换元法，可将已知函数化为一个二次函数，根据二次函数在定区间上的最值问题，即可得到h（a）的解析式 （3）由（2）中h（a）的解析式，易得在h（a）在（3，+）上为减函数，进而根据h（a）的定义域为n，m时值域为n2，m2构造关于m，n的不等式组，如果不等式组有解，则存在满足条件的m，n的值；若无解，则不存在满足条件的m，n的值本题考查的知识点是指数函数的综合应用，其中（2）的关键是利用换元法，将函数解析式化为二次函数，（3）的关键是判断h（a）在（3，+）上为减函数进而构造关于m，n的不等式组第15页，共16页
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