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第25练导数的概念及简单应用明晰考情1.命题角度：考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值和最值.2.题目难度：中档偏难.考点一导数的几何意义方法技巧(1)f(x0)表示函数f(x)在xx0处的瞬时变化率.(2)f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率.1.设点P是曲线yx3x上的任意一点，且曲线在点P处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是()A.B.C.D.答案C解析y3x2，tan，又00或f(x)0.(2)若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解.5.已知函数f(x)lnxx，若af，bf()，cf(5)，则()A.cbaB.cabC.bcaD.acb答案A解析f(x)10恒成立，f(x)在(0，)上为减函数.afln33f(3).3f()f(5)，abc.故选A.6.设函数f(x)x29lnx在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A.(1,2 B.4，)C.(，2 D.(0,3答案A解析易知f(x)的定义域为(0，)，且f(x)x.由f(x)x0，解得0x3.f(x)x29lnx在a1，a1上单调递减，解得1a2.7.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1，其导函数f(x)满足f(x)k1，则下列结论中一定错误的是()A.fB.fC.fD.f答案C解析导函数f(x)满足f(x)k1，f(x)k0，k10，0，可构造函数g(x)f(x)kx，可得g(x)0，故g(x)在R上为增函数，f(0)1，g(0)1，gg(0)，f1，f，选项C错误，故选C.考点三导数与函数的极值、最值方法技巧(1)函数零点问题，常利用数形结合与函数极值求解.(2)含参恒成立或存在性问题，可转化为函数最值问题；若能分离参数，可先分离.特别提醒(1)f(x0)0是函数yf(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件.(2)函数f(x)在a，b上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点.8.(2017全国)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A.1B.2e3C.5e3D.1答案A解析函数f(x)(x2ax1)ex1，则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1.由x2是函数f(x)的极值点，得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1.所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x2).由ex10恒成立，得当x2或x1时，f(x)0，且当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点.所以函数f(x)的极小值为f(1)1.故选A.9.若函数f(x)(12a)x2lnx(a0)在区间内有极大值，则a的取值范围是()A.B.(1，)C.(1,2) D.(2，)答案C解析f(x)ax(12a)(a0，x0).若f(x)在内有极大值，则f(x)在内先大于0，再小于0，即解得1a2.10.(2018江苏)若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则f(x)在1,1上的最大值与最小值的和为_.答案3解析f(x)6x22ax2x(3xa)(x0).当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，又f(0)1，f(x)在(0，)上无零点，不合题意.当a0时，由f(x)0，解得x，由f(x)0，解得0x，f(x)在上单调递减，在上单调递增.又f(x)只有一个零点，f10，a3.此时f(x)2x33x21，f(x)6x(x1)，当x1,1时，f(x)在1,0上单调递增，在(0,1上单调递减.又f(1)0，f(1)4，f(0)1，f(x)maxf(x)minf(0)f(1)143.11.已知函数f(x)x33ax(aR)，函数g(x)lnx，若在区间1,2上f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方(没有公共点)，则实数a的取值范围是_.答案解析由题意知，3ax2在1,2上恒成立，记h(x)x2，x1,2，则h(x)，1x2，h(x)0，h(x)在1,2上单调递增，h(x)minh(1)1，3a1，即a.1.已知f(x)lnx，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m等于()A.1B.3C.4D.2答案D解析f(x)，直线l的斜率为kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0(m0)，于是解得m2.故选D.2.(2016全国)若函数f(x)xsin2xasinx在(，)上单调递增，则a的取值范围是()A.1,1B.C.D.答案C解析方法一(特殊值法)不妨取a1，则f(x)xsin2xsinx，f(x)1cos2xcosx，但f(0)110，不具备在(，)上单调递增，排除A，B，D.故选C.方法二(综合法)函数f(x)xsin2xasinx在(，)上单调递增，f(x)1cos2xacosx1(2cos2x1)acosxcos2xacosx0，即acosxcos2x在(，)上恒成立.当cosx0时，恒有0，得aR；当0cosx1时，得acosx，令tcosx，g(t)t在(0,1上为增函数，得ag(1)；当1cosx0的解集对应yf(x)的增区间，f(x)0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex0，解得x2.3.已知函数f(x)x3mx24x3在区间1,2上是增函数，则实数m的取值范围为()A.4m5B.2m4C.m2D.m4答案D解析由函数f(x)x3mx24x3，可得f(x)x2mx4，由函数f(x)x3mx24x3在区间1,2上是增函数，可得x2mx40在区间1,2上恒成立，可得mx，又x24，当且仅当x2时取等号，可得m4.4.若函数f(x)(x1)ex，则下列命题正确的是()A.对任意m，都存在xR，使得f(x)，都存在xR，使得f(x)mC.对任意m，方程f(x)m总有两个实根答案B解析f(x)(x2)ex，当x2时，f(x)0，f(x)为增函数；当x2时，f(x)0，f(x)为减函数.f(2)为f(x)的最小值，即f(x)(xR)，故B正确.5.已知函数f(x)是定义在区间(0，)上的可导函数，其导函数为f(x)，且满足xf(x)2f(x)0，则不等式的解集为()A.x|x2013B.x|x2013C.x|2013x0D.x|2018x2013答案D解析构造函数g(x)x2f(x)，则g(x)x2f(x)xf(x).当x0时，2f(x)xf(x)0，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递增.不等式，当x20180，即x2018时，(x2018)2f(x2018)52f(5)，即g(x2018)g(5)，00，方程6x22x10中的200恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点.7.设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则()A.a1C.aD.a0时，ex1，aex0时，f(x)1，f(x)，当x(0,1)时，f(x)1时，f(x)0，函数f(x)单调递增.当x1时，f(x)取到极小值e1，即f(x)的最小值为e1.又f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)h(x)，h(x)的最大值为(e1)1e.11.若在区间0,1上存在实数x使2x(3xa)1成立，则a的取值范围是_.答案(，1)解析2x(3xa)1可化为a2x3x，则在区间0,1上存在实数x使2x(3xa)1成立等价于a(2x3x)max，而y2x3x在0,1上单调递减，y2x3x在0,1上的最大值为2001，a1，故a的取值范围是(，1).12.已知函数f(x)exx，若f(x)0的解集中只有一个正整数，则实数k的取值范围为_.答案解析f(x)0，即exx0，即kx只有一个正整数解，设g(x)，所以g(x)，当x0，当x1时，g(x)0，所以g(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以g(x)maxg(1)，由图可知，kx的唯一一个正整数解只能是1，所以有解得k，所以实数k的取值范围为.
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