特征值与特征向量的概念与计算.ppt

5 1特征值与特征向量的概念与计算 5 1 1 特征值与特征向量的定义5 1 2 特征子空间5 1 3 特征值与特征向量的计算 5 1 1特征值与特征向量的定义 定义 设A是n阶方阵 是方阵A的一个特征值 为方阵A的对应于特征值的一个特征向量 若存在数和n维非零列向量 使得 成立 则称 例 设A2 A 证明 A的特征值为0或1 证 例 5 1 2特征子空间 5 1 3特征值与特征向量的计算 特征向量是齐次线性方程组 I A X 0的解 因此 I A X 0的解空间就是A的特征子空间 是关于的一个多项式 称为矩阵A的特征多项式 称为矩阵A的特征方程 定义 特征方程 记为f 例 特征值 的重数称为 的代数重数 特征值 所对应的齐次线性方程组 I A X 0的基础解系所含解向量的个数称为 的几何重数 即特征值所对应线性无关特征向量的个数 定义 解 第一步 写出矩阵A的特征方程 求出特征值 例求矩阵 的特征值和全部特征向量 特征值为 求非零解 系数矩阵 自由未知量 令得基础解系 齐次线性方程组为 得基础解系 解 例 系数矩阵 重要结论 1 特征值的代数重数大于等于它的几何重数 知道结论即可 2 对角矩阵及三角矩阵的特征值为其主对角元 求数量矩阵的特征值和特征向量 解 因此 所有n维非零向量都是此数量矩阵的特征向量 即特征向量可表示为 例 例设矩阵A可逆 且 解 例 设为矩阵的特征值 求的特征值 若可逆 求的特征值 解 例 解 解 例 定理设n阶方阵的n个特征值为 则 称为矩阵A的迹 主对角元素之和 注A可逆的条件 证明 设A为3阶方阵 A的特征值分别为 1 4 2 求 例 解