特征中与特征向量.ppt

1 线性代数与空间解析几何 哈工大数学系代数与几何教研室 王宝玲 特征值与特征向量 2007 9 第六章 2 特征向量与特征向量相似矩阵矩阵的相似对角化 本章的主要内容 3 在工程技术中有许多与振动和稳定性有关的问题 如 机械 电子 土木 化工 生态学 核物理 弹性力学 气体力学 在数学中 解微分方程组及简化矩阵的计算等 都会遇到这样的问题 1 对于给定的3阶方阵A 是否存在非零列 向量X 使向量AX与X平行 2 如果存在这样的X 则该如何求这个X 问题的提出 4 设 则对于 有 而对于 可见有些向量X 有AX与X平行这个性质 而其它向量则没有这个性质 有这样性质的向量称为特征向量 例1 5 6 1特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念特征值与特征向量求法特征值与特征向量的性质实对称阵的特征值与特征向量 本节的主要内容 6 设A是n阶方阵 若存在数 及非零列向量X 使得 则称 是A的特征值 X是A的属于特征值 的特征向量 1 若X 0 则A0 0 成立 2 几何意义 向量AX 注 AX X 1 定义 6 1 1特征值与特征向量的概念 7 求方阵A的特征值 称 即 为矩阵A的特征多项式 征值的问题就转化为求特征方程根的问题 AX X X 0 有非零解 为矩阵A的特征方程 求矩阵特 2 特征值与特征向量的求法 8 求方阵A的特征向量 求齐次线性方程组的非零解问题 由齐次线性方程组解的性质知特征向量有以下2条性质 1 X是属于的特征向量 则 2 是属于的特征向量 则 的非零解 9 对A的特征值 称方程组的解空间为A的关于特征值的特征子空间 特征子空间 求A的特征值与特征向量的步骤如下 1 由求A的特征值 2 分别把A的每个特征值代入方程组 求出它的基础解系 则基础解系的所有非零线性组合就是A的属于的全部特征向量 10 求A特征值和特征向量及特征子空间 解 1 求A的特征值 A的特征值为 对 解方程组 2 求特征向量 例2 11 由 得同解方程组 得基础解系为 得A的属于 1的全部特征向量为 是不全为0的任意常数 12 对 解方程组 得同解方程组 得基础解系为 得A的属于5的全部特征向量为 是不为0的任意常数 13 得A的关于特征值 1和5的特征子空间为 为任意常数 为任意常数 14 1 特征值的性质 性质1设 为n阶矩阵A的特征值 则 证由已知 6 1 2特征值与特征向量的性质 15 只能出现在 乘积项中 另一方面 比较 1 2 中的系数及常数项 得结论 16 则 设 为n阶方阵A的特征值 且 1 有0特征值 注 A的特征值都非0 证 则 X 0 用数学归纳法可得 对 k N 有 性质2 17 若 且A可逆 则 例3 X 0 证 且A可逆 则 而 18 2 特征向量的性质 定理1如果 1 2 m是n阶方阵A的互异特征值 则它们所对应的特征向量X1 X2 Xm线性无关 证由已知 对特征值个数m用数学归纳法 当m 1时 因为X1 0 所以结论成立 19 设m 1个特征值时结论成立 考虑m的情形 A左乘 1 式等号两端 得 用 m乘 1 式两端 得 2 式减 3 式 得 即 20 k1 1 m X1 km 1 m 1 m Xm 1 0由归纳假设X1 X2 Xm 1线性无关 所以ki i m 0 i 1 2 m 1由已知 i m i 1 2 m 1 得ki 0 i 1 2 m 1 代入 1 式 有kmXm 0 又Xm 0 所以km 0 故X1 X2 Xm线性无关 21 设 1 2 s的是A的s个互异的 也线性无关 这个推论的证明与定理1类似 推论2 若A有n个互异特征值 则A必有n个线性无关的特征向量 推论1 特征值 而是属于 i的 mi个线性无关的特征向量 i 1 s 则 22 6 1 3实对称阵的特征值与特征向量 实对称阵的性质 性质1实对称阵的特征值都是实数 性质2实对称阵对应于不同特征值的实特征向量必正交 证 设A是n阶实对称矩阵 是A的的特征值 且 A A 2 2 2 往证 1T 2 0 23 1 1T 2 1 1 T 2 A 1 T 2 1TAT 2 1T A 2 T 2 2 2 1T 2 1 2 1T 2 0 1T 2 0 实对称阵的ri重特征值 i一定有ri个线性无关的实特征向量 即方程组 的基础解系恰好含有ri个向量 性质3 24 设三阶实对称阵A的特征值为 1 1 1 1所对应的特征向量为 0 1 1 T 求1对应的特征向量 解 设X x1 x2 x3 T 是不全为0的任意常数 例4 25 本节主要内容 相似矩阵的概念方阵相似对角化的条件与方法几何重数与代数重数实对称矩阵正交相似对角化的方法 6 2相似矩阵 26 设A B是两个n阶方阵 如果存在可逆矩阵T 使 T 1AT B 则称A与B相似 记作A B 从A到B的这种变换称为相似变换 T为相似变换矩阵 6 2 1相似矩阵的概念 1定义 例如 T 1ET E 27 即相似关系满足 1 自反性 A A 2 对称性 若A B 则B A 3 传递性 若A B B C 则A C 矩阵的相似关系是上的一种等价关系 所以彼此相似的矩阵构成一个等价类 最简单的代表元就是对角阵 28 2相似矩阵的特征多项式 定理6 2若A与B相似 则特征多项式同 即 证 因A与B相似 所以存在可逆矩阵T 使 T 1AT B 29 推论 若n阶方阵A与对角阵 相似 结论成立 30 3相似矩阵有5 4 迹同 1 特征多项式同 2 特征值同 3 行列式同 5 秩同 如果A B是两个n阶方阵 A B 则有 但逆命题不成立即特征值同但不相似 阵 2 的反例如下 31 1 相似矩阵有相同的可逆性 当A可逆时 若A B 则A 1 B 1 B A B T 1A T 2 若A B 则Am Bm 其中m是正整数 3 若A B 设f x 是一个一元多项式 则f A f B 4相似矩阵的同性质 5 若A B 则对 常数t有 4 若A B 则AT BT 32 与 相似 解 由 5E A 5 5x 0 x 1 tr A x 2 tr y y 1 例1 求x y 两矩阵相似 等价 5矩阵的相似与等价的关系 显然A有特征值5 5 33 6 2 2相似对角化的条件及方法 1定义 若A与对角阵相似 称A可以相似对角化 2相似对角化的条件 A有n个线性无关的特征向量 A的n个线性无关的特征向量 且 的主对角线上元素是与其对应的特征值 T 1AT 为对角阵 T的n个列向量是 34 证 设A与对角阵相似 则 可逆阵T 使 所以有AT T 用T1 T2 Tn表示T的n个列向量 即 T T1 T2 Tn 注意 证明过程给出相似对角化的方法 35 即A T1 Tn AT1 ATn 等式两边的列向量应当对应相等 所以 由T可逆知 T1 Tn线性无关 故是A的 n个线性无关的特征向量 36 设T1 T2 Tn是n个线性无关的列向量 满足 ATi iTi i 1 2 n如果令T T1 T2 Tn AT A T1 T2 Tn AT1 AT2 ATn 1T1 2T2 nTn T1 T2 Tn diag 1 2 n Tdiag 1 2 n T 1AT 37 A可相似对角化 若A有n个互异特征值 例如 n阶单位阵E可对角化 但是它的互异特征值只有1个 n重 属于A的不同特征值的特征向量线性无关 问题 若A可相似对角化 那么A一定有n个互异特征值 推论 38 6 2 3几何重数与代数重数 几何重数 矩阵A的每个特征值 i的特征子空间V i的维数为 i的几何重数 即 iE A X 0基础解系含向量的个数 代数重数 i在特征方程中的重根数 A的特征值的几何重数 代数重数 定理6 4 注复矩阵A的所有特征值的代数重数之和 特征值几何重数 代数重数时 n 所以有 39 解 x y r E A 1 可相似对角化 求x y满足的条件 例2 r 3E A 2 特征值为1 1 3 40 设三阶方阵A的特征值为1 1 1 依次是对应的特征向量 求A与 解设 则 线性无关 A可相似对角化 例3 41 任意实对称阵A不仅可对角化 而且能找到一个正交阵P 使得P 1AP PTAP 为对角阵 即A可正交相似对角化 6 2 4实对称矩阵的正交相似对角化 42 实对称矩阵可以正交相似对角化 其中是A的特征值 证A为n阶实对称阵 有 定理6 6 即 若A为n阶实对称阵 则 正交阵P 使得 证明过程给出方法 43 不同特征值 1 2 s 代数重数r1r2 rs 几何重数r1r2 rs 无关特征向量X11 X1r1X21 X2r2 Xs1 Xsrs 标准正交化 标准正交特征向量 则 为正交阵 令 例4设 求正交阵使为对角阵 解 特征值为 得基础解系 正交化 单位化 46 得基础解系 单位化 故 为正交阵 diag 2 2 7 47 已知矩阵A是三阶实对称阵 它的特征值分别是1 1 2 且属于2的特征向量是 1 0 1 T 求A 解A是三阶实对称阵 正交相似于对角阵diag 1 1 2 属于特征值1的特征向量与属于2的特征向量 1 0 1 T正交 由此得到属于1的特征向量为 0 1 0 T 1 0 1 T 单位化得到相应的正交矩阵 例5 48 由PTAP diag 1 1 2 可以得到A 49 例6 设n阶实对称矩阵A的特征值都 大于零 试证 证 因为A是实对称阵 所以存在正交阵P 使 50 复习第六章 Bye