浙江专版2017-2018学年高中数学第一章三角函数1.4.2第一课时正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性学案新人教A版必修4 .doc

第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性预习课本P3437，思考并完成以下问题(1)周期函数的定义是什么？ (2)如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？ (3)正、余弦函数的奇偶性分别是什么？ 1周期函数(1)周期函数的概念条件对于函数(x)，存在一个非零常数T当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)结论函数(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)最小正周期条件周期函数(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做(x)的最小正周期点睛对周期函数的两点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一(2)如果T是函数(x)的一个周期，则nT(nZ且n0)也是(x)的周期2正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数ysin xycos x周期2k(kZ且k0)2k(kZ且k0)最小正周期 22奇偶性奇函数偶函数1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)因sinsin，则是正弦函数ysin x的一个周期()(2)若T是函数(x)的周期，则kT，kN*也是函数f(x)的周期()(3)函数y3sin 2x是奇函数()(4)函数ycos x是偶函数()答案：(1)(2)(3)(4)2函数(x)2sin是()AT2的奇函数BT2的偶函数CT的奇函数DT的偶函数答案：B3下列函数中，周期为的是()Aysin xBysin 2xCycos Dycos 4x答案：D4函数(x)sin xcos x是_(填“奇”或“偶”)函数答案：奇三角函数的周期典例求下列函数的周期(1)(x)cos；(2)(x)|sin x|.解(1)法一定义法(x)coscoscos(x)，即(x)(x)，函数(x)cos的周期T.法二公式法ycos，2.又T.函数(x)cos的周期T.(2)法一定义法(x)|sin x|, (x)|sin(x)|sin x|(x)，(x)的周期为.法二图象法函数y|sin x|的图象如图所示由图象可知T.求函数最小正周期的常用方法除了定义法外，求三角函数的周期，一般还有两种方法：(1)公式法，即将函数化为yAsin(x)B或yAcos(x)B的形式，再利用T求得；(2)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期活学活用求下列函数的周期(1)y3sin；(2)y|cos x|.解：(1)T4，y3sin的周期为4.(2)函数y|cos x|的图象如图所示，由图象知T.三角函数的奇偶性典例(1)函数f(x)sin 2x的奇偶性为()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数(2)判断函数f(x)sin的奇偶性(1)解析f(x)的定义域是R.且f(x)sin 2(x)sin 2xf(x)，函数为奇函数答案A(2)解f(x)sincosx，f(x)coscosx，函数f(x)sin为偶函数判断函数奇偶性的方法活学活用判断下列函数的奇偶性：(1)(x)xcos(x)；(2)(x)sin(cos x)解：(1)函数(x)的定义域为R，(x)xcos(x)xcos x，(x)(x)cos(x)xcos x(x)，(x)为奇函数(2)函数(x)的定义域为R，(x)sinsin(cos x)(x)，(x)为偶函数.三角函数的奇偶性与周期性的应用典例定义在R上的函数(x)既是偶函数又是周期函数，若(x)的最小正周期是，且当x时，(x)sin x，求 的值解(x)的最小正周期是， (x)是R上的偶函数， sin. .一题多变1变条件若本例中“偶”变“奇”其他条件不变，求 的值解： sin.2变设问若本例条件不变，求 的值解： sin .3变条件若本例条件为：函数(x)为偶函数且 (x)， 1，求 的值解： (x)，(x)(x)，即T， 1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法利用函数的周期性，可以把xnT(nZ)的函数值转化为x的函数值利用奇偶性，可以找到x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题层级一学业水平达标1函数f(x)sin(x)的奇偶性是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数解析：选A由于xR，且f(x)sin xsin(x)f(x)，所以f(x)为奇函数2函数yxcos x的部分图象是下图中的()解析：选D因为函数yxcos x是奇函数，图象关于原点对称，所以排除A，C；当x时，yxcos x0，故排除B.3已知函数f(x)sin1，则下列命题正确的是()Af(x)是周期为1的奇函数Bf(x)是周期为2的偶函数Cf(x)是周期为1的非奇非偶函数Df(x)是周期为2的非奇非偶函数解析：选Bf(x)sin1cos x1，从而函数为偶函数，且T2.4函数y4sin(2x)的图象关于()Ax轴对称B原点对称Cy轴对称 D直线x对称解析：选By4sin(2x)4sin 2x，奇函数图象关于原点对称5函数ycos的奇偶性是()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D即是奇函数也是偶函数解析：选Acoscossin，故为奇函数6函数ycos的周期为_解析：T4.答案：47函数(x)是以2为周期的函数，且(2)3，则(6)_.解析：函数(x)是以2为周期的函数，且(2)3，(6)(222)(2)3.答案：38函数(x)3cos(0)的最小正周期为，则()_.解析：由已知得3，(x)3cos，()3cos3cos3cos.答案：9判断下列函数的奇偶性(1)(x)coscos(x)；(2)(x) .解：(1)xR，(x)coscos(x)sin 2x(cos x)sin 2xcos x.(x)sin(2x)cos(x)sin 2xcos x(x)该函数(x)是奇函数(2)对任意xR，1sin x1，1sin x0,1sin x0.(x) 的定义域为R.(x) (x)，该函数是偶函数10已知函数ysin x|sin x|，(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期解：(1)ysin x|sin x|图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2.层级二应试能力达标1下列函数中最小正周期为且为偶函数的是()AycosBysinCysin Dycos解析：选B对于A，ycoscossin 2x是奇函数；对于B，ysincos 2x是偶函数，且最小正周期T；对于C，ysincos x是偶函数，但最小正周期T2；对于D，ycossin x是奇函数，故选B.2函数(x)3sin是()A周期为3的偶函数 B周期为2的偶函数C周期为3的奇函数 D周期为的偶函数解析：选A(x)3sin3cosx，(x)为偶函数，且T3，故选A.3函数ycos(k0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是()A10 B11C12 D13解析：选DT2，k4，又kZ，正整数k的最小值为13.4函数(x)sin(2x)为R上的奇函数，则的值可以是()A BC D解析：选C要使函数(x)sin(2x)为R上的奇函数，需k，kZ.故选C.5若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)则f_.解析：T，f f f sin.答案：6函数y的最小正周期是_解析：ysin 的最小正周期为T4，而y的图象是把ysin 的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，y的最小正周期为T2.答案：27已知(x)是以为周期的偶函数，且x时，(x)1sin x，当x时，求(x)的解析式解：x时，3x，因为x时，(x)1sin x，所以(3x)1sin(3x)1sin x又(x)是以为周期的偶函数，所以(3x)(x)(x)，所以(x)的解析式为(x)1sin x，x.8已知函数(x)对于任意实数x满足条件(x2)(x)0)(1)求证：函数(x)是周期函数(2)若(1)5，求(5)的值解：(1)证明：(x2)，(x4)(x)，(x)是周期函数，4就是它的一个周期(2)4是(x)的一个周期(5)(1)5，(5)(5)(1).