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第4练数学文化明晰考情1.命题角度：近几年，为充分发挥高考的育人功能和积极导向作用，在数学中出现了数学文化的内容，内容不拘一格，古今中外文化兼有.2.题目难度：中档难度.考点一算法、数列中的数学文化方法技巧(1)和算法结合的数学文化，要读懂流程图，按流程图依次执行；(2)数学文化中蕴含的数列，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型.1.张邱建算经是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为_.答案解析依题意设每天多织d尺，依题意得S30305d390，解得d.2.如图所示的流程图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该流程图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为_.答案2解析由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2.3.20世纪70年代，流行一种游戏角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成3n1；如果n是个偶数，则下一步变成，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的421循环，而永远也跳不出这个圈子，下面流程图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为_.答案5或32解析当n5时，执行流程图，i1，n16，i2，n8，i3，n4，i4，n2，i5，n1，i6，结束循环，输出i6；当n32时，执行流程图，i1，n16，i2，n8，i3，n4，i4，n2，i5，n1，i6，结束循环，输出i6.易知当n4时，不符合，故n5或n32.4.名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个流程图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n_.答案4解析当n1时，a，b4，满足进行循环的条件，当n2时，a，b8，满足进行循环的条件，当n3时，a，b16，满足进行循环的条件，当n4时，a，b32，不满足进行循环的条件，退出循环.故输出的n值为4.5.我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai(i1,2，10)，且a1a2a10，若48ai5M，则i_.答案6解析由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为an，设公差为d，则解得a1，d，所以该金杖的总重量M1015，因为48ai5M，所以4875，即396i75，解得i6.6.(2018浙江)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则当z81时，x_，y_.答案811解析方法一由题意，得即解得方法二1008119(只)，81327(元)，1002773(元).假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则51995(元).因为957322(元)，所以鸡母：22(53)11(只)，鸡翁：19118(只).考点二三角函数与几何中的数学文化方法技巧从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题.7.我国古代数学名著九章算术在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是_步.答案6解析由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r，则有815(等积法)，解得r3，故其直径为6步.8.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为，则tan_.答案解析由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2，210cos 10sin ，cossin ，又为锐角，易求得tan .9.我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t取0,3上的任意值时，直线yt被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为_.答案解析类比祖暅原理可得两个图形的面积相等，梯形面积为S(12)3，所以图1的面积为.10.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为_.答案解析由题意可知：L2r，即r，圆锥体积VShr2h2hL2hL2h，故，.11.我国古代数学名著张邱建算经中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？”意思是：现在有粟米250斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为5丈4尺，则谷堆的高为多少？(注：1斛1.62立方尺，3)若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径约为_尺.答案21.2解析设谷堆的高为h尺，底面半径为r尺，则2r54，r9.粟米250斛，则体积为2501.6292h，h5.谷堆内接于一个球状的外罩，设球的半径为R尺.则R2(hR)2r2，解得R10.6(尺).2R21.2(尺).12.卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；a1c2.其中正确的式子的序号是_.答案解析由题图知2a12a2,2c12c2，即a1a2，c1c2，a1c1a2c2，不正确.a1c1PF，a2c2PF，a1c1a2c2，正确.a1a20，c1c20，aa，cc.又a1c1a2c2，即a1c2a2c1，即ac2a1c2ac2a2c1，acca2a1c22a2c1，即(a1c1)(a1c1)(a2c2)(a2c2)2a1c22a2c1，整理得(a1c1)(a1a2c1c2)2a1c22a2c1.a1c1，a1a2，c1c2，2a1c2a1c2，正确.c1a2a1c2，a10，a20，即，不正确.正确式子的序号是.考点三概率统计与推理证明中的数学文化方法技巧(1)概率统计和数学文化的结合，关键是构建数学模型；(2)推理证明和实际问题结合，要根据已知条件进行逻辑推理，得到相应结论.13.我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1560石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷32粒，则这批米内夹谷约为_石.答案195解析由系统抽样的含义，该批米内夹谷约为1 560195(石).14.数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343,12521等，两位数的回文数有11,22,33，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是_.答案解析三位数的回文数为ABA，A共有1到9共9种可能，即1B1,2B2,3B3，B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，共有91090(个)；其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2,4B4,6B6,8B8，B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，其有41040(个)，三位数的回文数中，偶数的概率P.15.我国的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，9填入33的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图).一般地，将连续的正整数1,2,3，n2填入nn的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的和为Nn (如：在3阶幻方中，N315)，则N10_.492357816答案505解析n阶幻方共有n2个数，其和为12n2，n阶幻方共有n行，每行的和为，即Nn，N10505.16.九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐(如图所示)，问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为_.答案解析如图所示，设水深为x尺，由题意得(x2)2x252，求解关于实数x的方程，可得x，即水深为尺，又葭长为尺，则所求问题的概率为P.17.庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”).今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”.游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是_.答案甲解析由四人的预测可得下表：中奖人预测结果甲乙丙丁甲乙丙丁由分析可知，中奖者是甲.1.南北朝时期的数学古籍张邱建算经有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.问：每等人比下等人多得几斤？”_.答案解析设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列an构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得即解得d，每一等人比下一等人多得斤金.2.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天？”在该问题中前5天共分发了_升大米.答案3300解析设第n天派出的人数为an，则an是以64为首项，7为公差的等差数列，则第n天修筑堤坝的人数为Sna1a2an64n7，所以前5天共分发的大米数为3(S1S2S3S4S5)3(12345)64(13610)73300.3.我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第_天相逢.答案4解析由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n天打洞之和为2n1；同理，小老鼠前n天打洞的距离为2，2n1210，解得n(3,4)，取n4.即两鼠在第4天相逢.4.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸.(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸)答案3解析如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸.积水深9寸，水面半径为(146)10(寸)，则盆中水的体积为9(62102610)588(立方寸).平地降雨量等于3(寸).5.算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒.遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒.借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的流程图，若输出的S值为0，则开始输入的S值为_.答案解析模拟程序的运行，可得当i1时，S2S1，i1满足条件i3，执行循环体；当i2时，S2(2S1)1，i2满足条件i3，执行循环体；当i3时，S22(2S1)11，i3不满足条件i3，退出循环体，输出S0，22(2S1)110，S.6.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是_.答案解析不妨设两条直角边为3,1，故斜边，即大正方形的边长为，小正方形边长为2，故概率为.7.欧阳修在卖油翁中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔.现随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴落入孔中的概率为_.答案解析由题意可得直径为4 cm的圆的面积为24(cm2)，而边长为1 cm的正方形的面积为111(cm2)，根据几何概型概率公式可得油滴落入孔中的概率为P.8.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为_平方尺.答案138解析设四棱锥的外接球半径为r，则(2r)2725282138，这个四棱锥的外接球的表面积为4r2138.9.原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生_天.答案510解析由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为173372276510.10.书章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位).这个问题中，甲所得为_钱.答案解析设甲、乙、丙、丁、戊所得质量分别为a2d，ad，a，ad，a2d，则a2dadaada2d，即a6d，又a2dadaada2d5a5，a1.则a2da2.11.孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米约_斛.(古制1丈10尺，1斛1.62立方尺，圆周率3)答案2700解析由题意，得2r54，r9，圆柱形容器体积为r2h39218，所以此容器约能装2700(斛)米.12.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数，将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn.可以推测：(1)b2018是数列an中的第_项；(2)b2k1_.(用k表示)答案(1)5045(2)解析由题意可得an123n，nN*，故b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15，由上述规律可知，b2ka5k(kN*)，b2k1a5k1，故b2 018b21 009a51 009a5 045，即b2 018是数列an中的第5 045项.
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