高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式举例课件新人教A版.ppt

二用数学归纳法证明不等式举例 自主预习 贝努利 Bernoulli 不等式如果x是实数 且x 1 x 0 n为大于1的自然数 则有 1 x n 1 nx 即时小测 1 用数学归纳法证明不等式成立 起始值至少应取为 A 7B 8C 9D 10 解析 选B 左边的和为 2 21 n 当n 8时 和为2 2 7 2 用数学归纳法证明 n 2 n N 时第一步需要证明 解析 选C 用数学归纳法证明 n 2 n N 第一步应验证不等式为 知识探究 探究点贝努利不等式1 在应用贝努利不等式时应注意什么 提示 在应用贝努利不等式时要注意应用条件x 1 且x 0 n是大于1的自然数 2 在利用数学归纳法证明贝努利不等式时n的初始值应选什么 提示 因为n为大于1的自然数 故n的初始值为2 归纳总结 1 贝努利不等式成立的两个条件一是x的范围是x 1且x 0 x R 二是n为大于1的自然数 2 贝努利不等式的推广当指数n推广到任意实数 时 x 1时 若01 则 1 x 1 x 当且仅当x 0时等号成立 类型一用数学归纳法证明有关函数中的不等关系 典例 已知f x 对于n N 试比较f 与的大小并说明理由 解题探究 解答本例的解题方向是什么 提示 先通过n取比较小的值进行归纳猜想 确定证明方向 再用数学归纳法证明 解析 根据题意f x 所以要比较f 与的大小 只需比较2n与n2的大小即可 当n 1时 21 2 12 1 当n 2时 22 4 22 当n 3时 23 852 25 当n 6时 26 64 62 36 故猜测当n 5 n N 时 2n n2 下面用数学归纳法加以证明 1 当n 5时 2n n2显然成立 2 假设n k k 5 且k N 时 不等式2n n2成立 即2k k2 k 5 则当n k 1时 2k 1 2 2k 2 k2 k2 k2 2k 1 2k 1 k 1 2 k 1 2 2 k 1 2 因为 k 1 2 2 由 1 2 可知 对一切n 5 n N 2n n2成立 综上所述 当n 1或n 5时 f 当n 2或n 4时 f 当n 3时 f 方法技巧 利用数学归纳法解决比较大小问题的方法利用数学归纳法比较大小 关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系 猜测出证明的方向 再用数学归纳法证明结论成立 变式训练 1 设f x 是定义在正整数集上的函数 且f x 满足 当f k k2成立时 总可推出f k 1 k 1 2成立 那么下列命题总成立的是 A 若f 3 9成立 则当k 1时 均有f k k2成立B 若f 5 25成立 则当k 5时 均有f k k2成立C 若f 7 49成立 则当k 8时 均有f k k2成立D 若f 4 25成立 则当k 4时 均有f k k2成立 解析 选D 根据题中条件可知 由f k k2 必能推得f k 1 k 1 2 但反之不成立 因为D中f 4 25 42 故可推得k 4时 f k k2 故只有D正确 2 2016 淮南高二检测 已知函数f x 其中e为自然对数的底数 证明 当x 0时 对任意正整数n都有f n x2 n 证明 当x 0时 f x 所以f x2e x考虑到 x 0时 不等式f n x2 n等价于x2e x n x2 n 即xn n ex 所以只要用数学归纳法证明不等式 对一切n N 都成立即可 1 当n 1时 设g x ex x x 0 因为x 0时 g x ex 1 0 所以g x 在 0 上是增函数 故g x g 0 1 0 即ex x x 0 所以 当n 1时 不等式 成立 2 假设n k k N 时 不等式 成立 即xk0 有h x k 1 ex k 1 xk k 1 k ex xk 0 故h x k 1 ex xk 1 x 0 为增函数 所以h x h 0 k 1 0 即xk 1 k 1 ex 这说明当n k 1时不等式 也成立 根据 1 2 可知不等式 对一切n N 都成立 故原不等式对一切n N 都成立 类型二数学归纳法证明不等式 典例 已知Sn n 1 n N 求证 n 2 n N 解题探究 本例能否先求Sn 再证明不等式 提示 不能 若先求Sn再证明会比较困难 证明 1 当n 2时 S4 即当n 2时命题成立 2 假设n k k 2 n N 时命题成立 即当n k 1时 故当n k 1时 命题也成立 由 1 2 知 对n N n 2 都成立 延伸探究 1 将本例中所要证明的不等式改为 n 2 n N 如何证明 证明 1 当n 2时 左边 因为所以左边 右边 原不等式成立 2 假设当n k k 2 时不等式成立 即则当n k 1时 左边 所以 当n k 1时 不等式也成立 由 1 和 2 可知 对n 2 且n N 不等式都成立 2 若在本例中 条件变为 设f n n N 由f 1 1 f 3 1 f 7 f 15 2 试问 f 2n 1 与大小关系如何 试猜想并加以证明 解析 数列1 3 7 15 通项公式为an 2n 1 数列 1 2 通项公式为an 所以猜想 f 2n 1 下面用数学归纳法证明 1 当n 1时 f 21 1 f 1 1 不等式成立 2 假设当n k k 1 时不等式成立 即f 2k 1 则f 2k 1 1 f 2k 1 所以当n k 1时 不等式也成立 据 1 2 知对任何n N 原不等式均成立 方法技巧 用数学归纳法证明不等式的技巧 1 证明不等式时 由n k到n k 1时的推证过程与证明等式有所不同 由于不等式中的不等关系 需要我们在证明时 对原式进行 放大 或者 缩小 才能使用到n k时的假设 所以需要认真分析 适当放缩 才能使问题简单化 这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一 2 数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起 如比较法 放缩法 配凑法 分析法和综合法等 才能完成证明过程 变式训练 1 已知f n 1 n N 经计算得 f 4 2 f 8 f 16 3 f 32 观察上述结论 可归纳出一般结论为 解析 将已知计算结果变形为归纳结论为f 2n 答案 f 2n 2 证明 n N n 2 证明 1 当n 2时 左边 1 右边 2 由于 故不等式成立 2 假设n k k N k 2 时命题成立 即则当n k 1时 即当n k 1时 命题成立 由 1 2 知 原不等式对一切n N n 2都成立 补偿训练 数列 an 中 a1 1 an 1 1 求证 当n 2且n N 时 证明 1 当n 2时 a2 1 1 2 且不等式成立 2 假设当n k k 2 时 有则当n k 1时 ak 1 分析法证明 要证只需证ak 即ak 由假设可知成立 所以由 1 2 知 当n 2 且n N 时 成立 类型三利用数学归纳法证明数列不等式 典例 已知数列 an 的前n项和为Sn 且满足a1 an 2SnSn 1 0 n 2 1 判断是否为等差数列 并证明你的结论 2 证明 n 1且n N 解题探究 本例中an与Sn的关系式是什么 提示 当n 2时 an Sn Sn 1 解析 1 是等差数列 证明如下 S1 a1 所以 2 当n 2时 an Sn Sn 1 即Sn Sn 1 2SnSn 1 所以 2 故是以2为首项 2为公差的等差数列 2 当n 1时 不等式成立 假设n k k 1 时 不等式成立 即成立 则当n k 1时 即当n k 1时 不等式成立 由 可知对任意n N 不等式都成立 延伸探究 本例中若将 an 2SnSn 1 0 n 2 改为 an 1 n N 那么数列 a2n 的单调性怎样 证明你的结论 解析 由a1 an 1 得a2 a4 a6 由a2 a4 a6 猜想 数列 a2n 是递减数列 下面用数学归纳法证明 1 当n 1时 已证命题成立 2 假设n k k 1 时命题成立 即a2k a2k 2 易知an 0 那么 即a2 k 1 a2 k 1 2也就是说 当n k 1时 命题也成立 综上 1 2 可知 命题成立 方法技巧 求解数学归纳法与数列的综合问题的策略 1 首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差 等比数列的基础知识 这是解决这类问题的基础 2 这类题型通常与数列的递推公式 通项公式有关 有时要证明的式子是直接给出 有时是根据条件从前几项入手 通过观察 猜想 归纳出一个式子 然后再用数学归纳法证明 变式训练 1 2014 赣榆县校级期末 已知f n n N 用数学归纳法证明f 2n 时 f 2k 1 f 2k 等于 解析 因为假设n k时 f 2k 当n k 1时 f 2k 1 所以f 2k 1 f 2k 答案 2 已知数列 Sn为该数列的前n项和 计算得观察上述结果 推测出Sn n N 并用数学归纳法加以证明 解析 推测Sn n N 用数学归纳法证明如下 1 当n 1时 S1 等式成立 2 假设当n k时等式成立 即Sk 那么当n k 1时 Sk 1 Sk 也就是说 当n k 1时 等式也成立 根据 1 和 2 可知一切n N 等式均成立 自我纠错用数学归纳法证明不等式 典例 用数学归纳法证明 其中n N 失误案例 分析解题过程 找出错误之处 并写出正确答案 提示 错误的根本原因是证明过程中从n k到n k 1的证明错误 正确解答过程如下 证明 1 当n 1时 1 2成立 2 假设当n k时不等式成立 即成立 那么 当n k 1时 即当n k 1时 不等式也成立 综合上述 由 1 2 知对任意正整数n 不等式都成立