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第六讲 函数的奇偶性与周期性学习目标 1了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性2掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题学习疑问 学习建议 【相关知识点回顾】【预学能掌握的内容】1.奇函数、偶函数、奇偶性对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就是奇函数；(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就是偶函数；(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性2.证明函数奇偶性的方法步骤(1)确定函数定义域关于 对称；(2)判定f(x)f(x)(或f(x)f(x)，从而证得函数是奇(偶)函数3.奇偶函数的性质(1)奇函数图像关于 对称，偶函数图像关于 对称；(2)若奇函数f(x)在x0处有意义，则f(0) ；(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 ；若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 (4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)f(|x|)，反之也成立4.一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x)axax为 函数，函数f(x)axax为 函数；(2)函数f(x)(a0且a1)为 函数；(3)函数f(x)loga为 函数；(4)函数f(x)loga(x)为 函数5.周期函数(1)若f(x)对于定义域中任意x均有 (T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数(2)若f(xa)f(xb)，则f(x)是周期函数，ba是它的一个周期6.函数的对称性(1)若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)f(2ax)，或f(ax)f(ax)，则函数f(x)关于 对称(2)函数yf(x)满足f(ax)f(bx)c时，函数yf(x)的图像关于点(，)对称【探究点一】判断函数的奇偶性典例解析 例1.判断下列函数的奇偶性，并证明(1)f(x)x3x； (2)f(x)x3x1； (3)f(x)x2|x|1，x1，4； (4)f(x)|x1|x1|；(5)f(x)； (6)f(x)(x1)，x(1，1)概括小结课堂检测1.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)； (2)f(x)xsinx；(3)f(x)ln； (4)f(x)(a0，且a1)；(5)f(x)【探究点二】 函数奇偶性的应用典例解析例2(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x0时，f(x)x1，求f(x)的解析式.变式：例2(1)中“奇函数且定义域为R”改为“偶函数且定义域为xR|x0”，则f(x)的解析式为_ (2)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f()的x的取值范围是_ _(3)若函数f(x1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程为_概括小结课堂检测2.(1)若函数f(x)是R上的偶函数，且在0，)上是减函数，则满足f()0)在区间8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_【层次一】1设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)等于()A3 B1 C1 D32已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为 ()A1 B0 C1 D23已知函数f(x)则该函数是()A偶函数，且单调递增B偶函数，且单调递减C奇函数，且单调递增D奇函数，且单调递减4已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x0,1)时，f(x)4x1，则f(5.5)的值为() A2 B1 C D1【层次二】5设函数D(x)则下列结论错误的是()AD(x)的值域为0,1 BD(x)是偶函数 CD(x)不是周期函数 DD(x)不是单调函数6若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.7已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1)_.8设奇函数f(x)的定义域为5,5，当x0,5时，函数yf(x)的图象如图所示，则使函数值y0的x的取值集合为_【层次二】9设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x)f的所有x之和为_10已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)yf(x)xf(y)(1)求f(1)，f(1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性11已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值
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