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考点规范练44直线与圆、圆与圆的位置关系一、基础巩固1.已知圆:(x-1)2+y2=2,则过该圆上的点(2,1)作圆的切线方程为()A.x+y-3=0B.2x+y-5=0C.x=2D.x-y-1=0答案A解析由题意可得圆心坐标为(1,0),根据斜率公式可得圆心(1,0)与(2,1)连线的斜率为1-02-1=1,故过该圆上的点(2,1)的切线斜率为-1,过该圆上的点(2,1)的切线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.2.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是22,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离答案B解析圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d=|0+a|12+12=22a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2R2-d2=2a2-22a2=2a,由题意可得2a=22,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|=(1-0)2+(1-2)2=2,显然R-r|MN|0)相交于A,B两点,且AOB=120(O为坐标原点),则r=.答案2解析如图,由题意知,圆心O到直线3x-4y+5=0的距离|OC|=532+(-4)2=1,故圆的半径r=1cos60=2.8.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对mR,直线l与圆C总有两个不同的交点;(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=17,求直线l的倾斜角.(1)证明将已知直线l化为y-1=m(x-1);故直线l恒过定点P(1,1).因为12+(1-1)2=10,解得-255m255,故x0=31+m2,且53x03.因为m=y0x0,所以x0=31+y0x02,整理得x0-322+y02=94.所以M的轨迹C的方程为x-322+y2=94530)上的一个动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的面积的最小值为2,则实数k的值为.答案2解析根据题意画出图形如下图所示.由题意得圆C:x2+y2-2y=0的圆心C(0,1),半径为r=1,由圆的性质可得S四边形PACB=2SPBC,四边形PACB的面积的最小值为2,SPBC的最小值S=1=12rd(d是切线长),dmin=2,此时|CP|min=5.圆心到直线的距离就是PC的最小值,51+k2=5,又k0,k=2.13.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等,求此切线的方程.解因为切线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以切线的斜率为1或切线过原点.当k=1时,设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得2x2-2(b-3)x+(b2-4b+3)=0或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0.由于相切,则方程有两个相等的实数根,即b=3或b=-1,c=5或c=1.故所求切线方程为x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0.当切线过原点时,设切线方程为y=kx,即kx-y=0.由|-k-2|k2+1=2,得k=26.所以此时切线方程为y=(26)x.综上可得切线方程为x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0,(2-6)x-y=0或(2+6)x-y=0.14.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.解因为圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0y00),若曲线x2+y2-23x-2y+3=0上存在点P,使得APB=90,则正实数a的取值范围为()A.(0,3B.1,3C.2,3D.1,2答案B解析把圆的方程x2+y2-23x-2y+3=0化为(x-3)2+(y-1)2=1,以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,若曲线x2+y2-23x-2y+3=0上存在点P,使得APB=90,则两圆有交点,所以|a-1|2a+1,解得1a3.
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