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2.4二次函数和幂函数A组基础题组1.函数f(x)=2x2-mx+3在(-,-1上单调递减,在(-1,+)上单调递增,则f(2)=() A.10B.14C.19D.20答案C由题意知m4=-1,所以m=-4,所以f(x)=2x2+4x+3,所以f(2)=19.2.(2019绍兴一中月考)命题“ax2-2ax+30恒成立”是假命题,则实数a的取值范围是()A.a0或a3B.a0或a3C.a3D.0a0恒成立,则a=0或a0,=4a2-12a0,可得0a0恒成立”是假命题时,a0或a3.3.已知函数f(x)=x2+(a+1)x+ab,若不等式f(x)0的解集为x|-1x4,则a+2b的值为()A.-2B.3C.-3D.2答案A依题意,知-1,4为方程x2+(a+1)x+ab=0的两个根,所以-1+4=-(a+1),-14=ab,解得a=-4,b=1,所以a+2b的值为-2,故选A.4.已知在(-,1上递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x20,t+1,总有|f(x1)-f(x2)|2,则实数t的取值范围为()A.-2,2B.1,2C.2,3D.1,2答案B对任意的x1,x20,t+1,总有|f(x1)-f(x2)|2转化为f(x)max-f(x)min2.由f(x)在(-,1)上是减函数,得-2t21,即t1,从而有t-0t+1-t,即x=0比x=t+1更偏离对称轴x=t,故f(x)在0,1+t上的最大值为1,最小值为1-t2,故有1-(1-t2)2,解得-2t2,又t1,所以1t2.故选B.5.已知函数f(x)=x2+x,x1,x2R,则下列不等式中一定成立的不等式的序号为.fx1+x22f(x1)+f(x2)2;fx1+x22f(x1)+f(x2)2.答案解析f(x1)+f(x2)2-fx1+x22=x12+x1+x22+x22-x1+x222-x1+x22=(x1-x2)240,故填.6.(2019山西一模)已知函数f(x)=x2-m是定义在区间-3-m,m2-m上的奇函数,则f(m)=.答案-1解析由题意得m2-m=3+m,即m2-2m-3=0,m=3或m=-1.当m=3时,f(x)=x-1,其定义域为-6,6,f(x)在x=0处无意义,故舍去.当m=-1时,f(x)=x3,其定义域为-2,2,满足题意,f(m)=f(-1)=(-1)3=-1.7.若f(x)=x2+ax+b(a,bR),x-1,1,且|f(x)|的最大值为12,则4a+3b=.答案-32解析由题意可知,|f(-1)|12,|f(0)|12,|f(1)|12,即|1-a+b|12,|b|12,|1+a+b|12,而|1-a+b|+|1+a+b|2|1+b|,所以2|1+b|1,解得-32b-12,另一方面|b|12等价于-12b12,所以b=-12,所以12-a12,12+a12,解得a=0.综上得a=0,b=-12,故4a+3b=-32.8.二次函数y=x2+kx+k,k4,6的图象截x轴所得线段长度的取值范围是.答案0,23解析所求线段的长度为k2-4k=(k-2)2-4,因为k4,6,所以(k-2)2-40,23.9.对于定义在R上的函数f(x),若实数x0满足f(x0)=x0,则称x0是函数f(x)的一个不动点.若函数f(x)=x2+ax+1没有不动点,则实数a的取值范围是.答案(-1,3)解析问题等价于方程x2+ax+1=x无解,即x2+(a-1)x+1=0无解,=(a-1)2-40-1af(a-1)的实数a的取值范围.解析(1)m2+m=m(m+1),mN*,而m与m+1中必有一个为偶数,m(m+1)为偶数.函数f(x)=x(m2+m)-1(mN*)的定义域为0,+),并且在定义域上为增函数.(2)函数f(x)的图象经过点(2,2),2=2(m2+m)-1,m2+m=2.解得m=1或m=-2.又mN*,m=1.由f(2-a)f(a-1)得2-a0,a-10,2-aa-1.解得1aba),其图象过点(1,0),并与直线y=-a有交点.(1)求证:0baba,所以a0.由c=-a-2bba,得-13ba1.又因为函数y=f(x)的图象与直线y=-a有交点.所以方程ax2+2bx+c+a=0有实根,故=4b2-4a(c+a)=4b2+8ab0,所以4ba2+8ba0,解得ba-2或ba0,综上可得0ban,m2+m2n2,解得n2m2n,故 2n2m+n(2+1)n,所以2|BC|AD|(2+1)|BC|.设x1,x2是方程ax2+2bx+c+a=0的两个根,所以|x1-x2|=|BC|=4ba2+8ba.设x3,x4是方程ax2+2bx+c-a=0的两个根,所以|x3-x4|=|AD|=4ba2+8ba+8.所以24ba2+8ba4ba2+8ba+8(2+1)4ba2+8ba,解得-1+42ba-1+153.12.已知函数f(x)=-x|x-a|+1(xR).(1)当a=1时,求使f(x)=x成立的x的值;(2)当a(0,3)时,求函数y=f(x)在x1,2上的最大值.解析(1)当a=1时,f(x)=-x|x-1|+1,x1时,-x(x-1)+1=x,x2=1,x=1,x=1,x1时,-x(1-x)+1=x,x=1,无解.综上,x=1.(2)f(x)=-x2+ax+1(xa),x2-ax+1(xa),作出示意图(图略),当0a1时,f(x)在1,2上递减,故f(x)max=f(1)=a;当1a2时,f(x)在1,a上递增,在a,2上递减,故f(x)max=f(a)=1;当2a3时,f(x)在1,a2上递减,在a2,2上递增,故f(x)max=f(2)=5-2a.综上,f(x)max=a(0a1),1(1a2),5-2a(2a0)与x轴有两个交点A,B,顶点为C,设=b2-4ac,ACB=,则cos=()A.-4+4B.-2+2C.+4-4D.+2-2答案A如图所示.|AB|=(x1+x2)2-4x1x2=-ba2-4ca=a,|AD|=2a,而|CD|=4ac-b24a=4a,|AC|2=|AD|2+|CD|2=4a2+216a2=2+416a2,cos=|AC|2+|BC|2-|AB|22|AC|BC|=1-|AB|22|AC|2=1-a222+416a2=-4+4,故选A.3.下图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1,给出下面四个结论:b24ac;2a-b=1;a-b+c=0;5a0,即b24ac,正确;对称轴为x=-1,即-b2a=-1,所以2a-b=0,错误;结合图象,当x=-1时,y0,即a-b+c0,错误;由对称轴为直线x=-1知b=2a,又函数图象开口向下,所以a0,所以5a2a,即5a1).(1)若f(x)的定义域和值域均是1,a,求实数a的值;(2)若f(x)在区间(-,2上是减函数,且对任意的x1,x21,a+1,总有|f(x1)-f(x2)|4,求实数a的取值范围;(3)若f(x)在1,3上有零点,求实数a的取值范围.解析(1)易知f(x)在1,a上单调递减,所以f(1)=a,f(a)=1,a=2.(2)若f(x)在区间(-,2上是减函数,则a2,所以当x1,a+1时,f(x)min=f(a)=5-a2,f(x)max=f(1)=6-2a,因为对任意的x1,x21,a+1,总有|f(x1)-f(x2)|4,即f(x)max-f(x)min4,即6-2a-5+a24,所以a2-2a-30,得-1a3.(3)f(x)=x2-2ax+5(a1)在1,3上有零点,即x2-2ax+5=0在1,3上有解,所以2a=x+5x在1,3上有解,令h(x)=x+5x,易知h(x)=x+5x在1,5上是减函数,在5,3上是增函数,h(1)=6,h(5)=25,h(3)=143,25h(x)6,所以252a6,5a3.5.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象过点(1,0).(1)记函数f(x)在0,2上的最大值为M,若M1,求a的最大值;(2)若对任意的x10,2,存在x20,2,使得f(x1)+f(x2)32a,求ba的取值范围.解析(1)函数f(x)的图象过点(1,0),f(1)=a+b+c=0,c=-a-b,f(x)=ax2+bx-a-b(a0),易知f(x)的图象是开口向上的抛物线,M为f(0),f(2)中的较大者M1f(0)=-a-b1,f(2)=3a+b1.2a2,即a1,故a的最大值为1.(2)由题意知,存在x20,2,使f(x)min+f(x2)32a,f(x)min+f(x)max32a,由(1)知,f(x)=ax2+bx-a-b,此函数图象的对称轴为直线x=-b2a.当-b2a0时,f(x)在0,2上单调递增,f(x)min+f(x)max=f(0)+f(2)=-a-b+3a+b=2a32a,ba0,符合题意.当0-b2a1,即-2ba0时,f(x)在0,-b2a上单调递减,在-b2a,2上单调递增,且f(0)32a,得-2ba2,-2ba0,符合题意.当1-b2a2,即-432a,得-4-2ba-4+2,-4ba32a,ba-4,符合题意.综上所述,ba-2.
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