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课时达标检测（四十九） 古典概型与几何概型小题对点练点点落实对点练(一)古典概型1(2018山西省四校联考)甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为()A. B.C. D.解析：选A甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，其中两人参加同一个小组的事件有(A，A)，(B，B)，(C，C)，共3个，两人参加同一个小组的概率为.2(2018陕西模拟)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说课，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为()A. B.C. D.解析：选C记两道题分别为A，B，所有抽取的情况为AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB(其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA，ABB，BAA，BAB，共4种故所求事件的概率为.故选C.3(2018深圳调研)将一颗骰子掷两次，则第二次出现的点数是第一次出现的点数的3倍的概率为()A. B.C. D.解析：选A一颗骰子掷两次，共有36种情况，满足条件的情况有(1,3)，(2,6)，共2种，所以所求的概率P，故选A.4已知集合M，N，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与yx21有交点的概率是()A.B.C.D.解析：选C易知过点(0,0)与yx21相切的直线为y2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使直线OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为.5(2018重庆适应性测试)从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为_解析：依题意，从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，共有10种不同的取法，其中所取3个数之和为偶数的取法共有134种(包含两种情形：一种情形是所取的3个数均为偶数，有1种取法；另一种情形是所取的3个数中2个是奇数，另一个是偶数，有3种取法)，因此所求的概率为.答案：6(2016江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是_解析：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(6,6)，共36种情况设事件A“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件“出现向上的点数之和大于或等于10”，包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况所以由古典概型的概率公式，得P()，所以P(A)1.答案：对点练(二)几何概型1(2018武汉调研)在区间0,1上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x3)0”发生的概率为()A.B. C.D.解析：选D由log0.5(4x3)0，得04x31，解得x1，所以所求概率P.2设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线y20的距离大于2的概率是()A.B.C.D.解析：选D如图，各点的坐标为B(2,0)，C(4,0)，D(6，2)，E(4，2)，F(4，3)，所以DE10，EF5，BC6，CF3.不等式对应的区域为三角形DEF，当点在线段BC上时，此点到直线y20的距离等于2，所以要使此点到直线y20的距离大于2，则此点应在三角形BCF中根据几何概型可知所求概率P，故选D.3已知正棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P，使得VPABCVSABC的概率是()A.B. C.D.解析：选B由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足VPABCVSABC，故使得VPABCVSABC的概率：P13.4(2018江西模拟)向面积为S的平行四边形ABCD中任投一点M，则MCD的面积小于的概率为()A. B.C. D.解析：选C设MCD的高为ME，ME的反向延长线交AB于点F，当“MCD的面积等于”时，CDMECDEF，即MEEF，过M作GHAB，则满足MCD的面积小于的点M在CDGH中，由几何概型的概率公式得到MCD的面积小于的概率为.故选C.5已知椭圆y21的焦点为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于点P，则使得0的概率为_解析：设P(x，y)，则0即为(x，y)(x，y)0，即为x23y20，即为x2310，解得x，故所求的概率为.答案：6.如图，正四棱锥SABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为_解析：设球的半径为R，则所求的概率为P.答案：对点练(三)概率与统计的综合问题1如图是样本容量为200的频率分布直方图根据样本的频率分布直方图估计数据落在2,10)内的概率约为_解析：由题图可得(0.020.08)40.4.答案：0.42如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个学习小组各4名同学在某次考试中的数学成绩，乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，在图中用m表示，假设数字具有随机性，则乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率为_.解析：由(87899193)(85909190m)，得m4，即m4时，甲、乙两个小组的平均成绩相等设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，m的取值有0,1,2，9，共10种可能，其中，当m5,6，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，故所求概率为.答案：3某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单位x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568由表中数据求得线性回归方程为20x.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为_解析：由表中数据求出样本平均数8.5，80，代入线性回归方程，得250，所以线性回归直线方程为20x250.经验证，样本点在回归直线左下方的有(8.2,84)，(9,68)两个，由古典概型的概率公式，得P.答案：大题综合练迁移贯通1.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：若xy3，则奖励玩具一个；若xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间与点集S(x，y)|xN，yN,1x4,1y4一一对应因为S中元素的个数是4416，所以基本事件总数n16.(1)记“xy3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)所以P(A)，即小亮获得玩具的概率为.(2)记“xy8”为事件B，“3xy8”为事件C.则事件B包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)所以P(B).事件C包含的基本事件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)所以P(C).因为，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率2如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题(1)8090这一组的频数、频率分别是多少？(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数(不要求写过程)(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率解：(1)根据题意，5060这一组的频率为0.015100.15，6070这一组的频率为0.025100.25,7080这一组的频率为0.035100.35,90100这一组的频率为0.005100.05，则8090这一组的频率为1(0.150.250.350.05)0.1，其频数为400.14.(2)这次竞赛成绩的平均数为450.1550.15650.25750.35850.1950.0568.5；7080这一组的频率最大，人数最多，则众数为75；70分左右两侧的频率为0.5，则中位数为70.(3)记“选出的2人在同一分数段”为事件E,8090之间有400.14人，设为a，b，c，d；90100之间有400.052人，设为A，B.从这6人中选出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15个基本事件，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7个基本事件，则P(E).3已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.(1)求n的值(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记“2ab3”为事件A，求事件A的概率；在区间0,2内任取2个实数x，y，求事件“x2y2(ab)2恒成立”的概率解：(1)依题意共有小球n2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为，得n2.(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a，b)所有可能的结果为(0,1)，(0,2)，(0,2)，(1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0)，(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共有12种，而满足2ab3的结果有8种，故P(A).由可知，(ab)24，故x2y24，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为，由几何概型得概率P1.
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