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第一节函数及其表示1函数与映射函数映射两集合A，B设A，B是非空的数集设A，B是非空的集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xA对应f：AB是一个映射2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法3分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数,(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发(2)如果函数yf(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域(3)如果函数yf(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集(3)各段函数的定义域不可以相交.熟记常用结论(1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)对于函数f：AB，其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数()(3)函数是一种特殊的映射()(4)若AR，B(0，)，f：xy|x|，则对应f可看作从A到B的映射()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、选填题1下列图形中可以表示为以Mx|0x1为定义域，以Ny|0y1为值域的函数的是()解析：选CA选项，函数定义域为M，但值域不是N，B选项，函数定义域不是M，值域为N，D选项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系故选C.2下列函数中，与函数yx1是相等函数的是()Ay()2By1Cy1 Dy1解析：选B对于A，函数y()2的定义域为x|x1，与函数yx1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y1的定义域为x|x0，与函数yx1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.3函数f(x)的定义域为_解析：由题意得解得x0且x2.答案：0,2)(2，)4若函数f(x)则f(f(2)_.解析：由题意知，f(2)541，f(1)e01，所以f(f(2)1.答案：15已知函数f(x)ax32x的图象过点(1,4)，则f(2)_.解析：函数f(x)ax32x的图象过点(1,4)4a2，a2，即f(x)2x32x，f(2)2232220.答案：20典例精析(1)已知flg x，求f(x)的解析式(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式(3)已知函数f(x)满足f(x)2f(x)2x，求f(x)的解析式解(1)(换元法)令1t，得x，代入得f(t)lg，又x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg，x(1，)(2)(待定系数法)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x，xR.(3)(解方程组法)由f(x)2f(x)2x，得f(x)2f(x)2x，2，得3f(x)2x12x.即f(x).故f(x)的解析式是f(x)，xR.解题技法求函数解析式的3种方法及口诀记忆待定系数法当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式换元法如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式解方程组法如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式口诀记忆解析式，如何定，待定换元解方程；已知函数有特征，待定系数来确定；复合函数问根源，内函数，先换元；两个函数有关系，方程组中破玄机. 过关训练1口诀第3句已知函数f(x1)，则函数f(x)的解析式为()Af(x)Bf(x)Cf(x) Df(x)解析：选A令x1t，则xt1，f(t)，即f(x).故选A.2口诀第2句若二次函数g(x)满足g(1)1，g(1)5，且图象过原点，则g(x)_.解析：设g(x)ax2bxc(a0)，g(1)1，g(1)5，且图象过原点，解得g(x)3x22x.答案：3x22x3口诀第4句已知f(x)满足2f(x)f3x，则f(x)_.解析：2f(x)f3x，把中的x换成，得2ff(x).联立可得解此方程组可得f(x)2x(x0)答案：2x(x0)考法全析考法(一)已知函数解析式求定义域例1求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)f(x).解(1)要使函数f(x)有意义，则解不等式组得x3.因此函数f(x)的定义域为3，)(2)要使函数f(x)有意义，则即解不等式组得1x1.因此函数f(x)的定义域为(1,1)考法(二)求抽象函数的定义域例2已知函数f(x)的定义域为(1,1)，则函数g(x)ff(x1)的定义域为()A(2,0)B(2,2)C(0,2) D.解析由题意得0x2，函数g(x)ff(x1)的定义域为(0,2)，故选C.答案C考法(三)已知函数的定义域求参数的值(范围)例3(1)若函数y的定义域为R，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.(2)若函数f(x)的定义域为x|1x2，则ab的值为_解析(1)函数y的定义域为R，mx24mx30，m0或即m0或0m，实数m的取值范围是.(2)函数f(x)的定义域为x|1x2，解得ab.答案(1)D(2)规律探求看个性考法(一)是根据具体的函数解析式求定义域，已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可考法(二)是求抽象函数的定义域，有如下解法：(1)若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出；(2)若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b上的值域考法(三)是考法(一)的逆运用，通常是转化为含参数的不等式求解找共性1.谨记函数定义域的有关口诀定义域，是何意，自变量，有意义；分式分母不为零，对数真数只取正；偶次根式要非负，三者结合生万物；和差积商定义域，不等式组求交集. 2.函数定义域问题注意事项(1)函数f(g(x)的定义域指的是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围；(2)求函数的定义域时，对函数解析式先不要化简；(3)求出函数的定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式；(4)函数f(x)g(x)的定义域是函数f(x)，g(x)的定义域的交集过关训练1口诀第1、2、3、4句y log2(4x2)的定义域是()A(2,0)(1,2)B(2,0(1,2)C(2,0)1,2) D2,01,2解析：选C要使函数有意义，则解得x(2,0)1,2)，即函数的定义域是(2,0)1,2)2口诀第1句已知函数yf(x21)的定义域为， ，则函数yf(x)的定义域为_解析：因为yf(x21)的定义域为，所以x， ，x211,2，所以yf(x)的定义域为1，2答案：1,23口诀第1、3句若函数f(x)的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为_解析：若函数f(x)的定义域为实数集R，则x2ax10恒成立，即a240，解得2a2，即实数a的取值范围是2,2答案：2,2全析考法过关考法全析考法(一)分段函数求值例1(1)(2019石家庄模拟)已知f(x)则f_.(2)已知f(x)则f(7)_.解析(1)flog32，ff(2)29.(2)79，f(7)f(f(74)f(f(11)f(113)f(8)又89，f(8)f(f(12)f(9)936.即f(7)6.答案(1)9(2)6考法(二)求参数或自变量的值(范围)例2(1)(2018全国卷)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1B(0，)C(1,0) D(，0)(2)(2019长春模拟)已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a_.解析(1)f(x)函数f(x)的图象如图所示结合图象知，要使f(x1)f(2x)，则需或x0，故选D.(2)当a0时，由f(a)f(1)0得2a20，无实数解；当a0时，由f(a)f(1)0得a120，解得a3，满足条件答案(1)D(2)3规律探求看个性考法(一)是求分段函数的函数值在求分段函数的函数值时，一定要先判断自变量属于定义域的哪个子集，再代入相应的关系式若涉及复合函数求值，则从内到外逐层计算，当自变量的值不确定时，要分类讨论考法(二)是在考法(一)的基础上迁移考查分段函数中，已知函数值或不等关系求参数或自变量的值或范围解与分段函数有关的方程或不等式，从而求得自变量或参数的取值(范围)时，应根据每一段的解析式分别求解解得值(范围)后一定要检验其是否符合相应段的自变量的取值范围找共性(1)无论考法(一)还是考法(二)都要根据自变量或参数所在区间来解决问题，搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件；(2)解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题 过关训练1已知函数f(x)则f(1log25)_.解析：因为2log253，所以31log254，则42log255，则f(1log25)f(11log25)f(2log25).答案：2(2018衡阳模拟)已知函数f(x)(aR)，若f(f(1)1，则a_.解析：f(1)2(1)2，f(f(1)f(2)4a1，解得a.答案：一、题点全面练1(2019重庆调研)函数ylog2(2x4)的定义域是()A(2,3)B(2，)C(3，) D(2,3)(3，)解析：选D由题意，得解得x2且x3，所以函数ylog2(2x4)的定义域为(2,3)(3，)，故选D.2(2018合肥质量检测)已知函数f(x)则f(f(1)()A B2C4 D11解析：选Cf(1)1223，f(f(1)f(3)34.故选C.3已知函数f(x)5|x|，g(x)ax2x(aR)若f(g(1)1，则a()A1 B2C3 D1解析：选A由已知条件可知f(g(1)f(a1)5|a1|1，|a1|0，得a1.故选A.4(2018荆州联考)若函数f(x)的定义域是1,2 019，则函数g(x)的定义域是()A0,2 018 B0,1)(1,2 018C(1,2 019 D1,1)(1,2 018解析：选B由题知，1x12 019，解得0x2 018，又x1，所以函数g(x)的定义域是0,1)(1，2 0185已知f2x5，且f(a)6，则a等于()A. BC. D解析：选A令tx1，则x2t2，f(t)2(2t2)54t1，故f(x)4x1，则f(a)4a16，解得a.6(2019石家庄模拟)已知f(x)(0a1)，且f(2)5，f(1)3，则f(f(3)()A2 B2C3 D3解析：选B由题意得，f(2)a2b5，f(1)a1b3，联立，结合0a1，得a，b1，所以f(x)则f(3)319，f(f(3)f(9)log392.7(2018福州二模)已知函数f(x)若f(a)3，则f(a2)()A B3C或3 D或3解析：选A当a0时，若f(a)3，则log2aa3，解得a2(满足a0)；当a0时，若f(a)3，则4a213，解得a3，不满足a0，舍去于是，可得a2.故f(a2)f(0)421.故选A.8(2019合肥质检)已知函数f(x)满足f(2x)2f(x)，且当1x2时，f(x)x2，则f(3)()A. B.C. D9解析：选Cf(2x)2f(x)，且当1x2时，f(x)x2，f(3)2f22.9(2019合肥模拟)已知f(x)的定义域为x|x0，且3f(x)5f1，则函数f(x)的解析式为_解析：用代替3f(x)5f1中的x，得3f5f(x)3x1，35得f(x)x(x0)答案：f(x)x(x0)10设函数f(x)若f(m)f(m)，则实数m的取值范围是_解析：函数f(x)当m0时，f(m)f(m)，即ln mln m，即ln m0，解得0m1；当m0时，f(m)f(m)，即ln(m)ln(m)，即ln(m)0，解得m1.综上可得，m1或0m1.答案：(，1)(0,1)二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1若函数yf(x1)的值域为1,1，则函数yf(3x2)的值域为()A1,1 B1,0C0,1 D2,8解析：选A函数yf(x1)的值域为1,1，由于函数中的自变量取定义域内的任意数时，函数的值域都为1,1，故函数yf(3x2)的值域为1,1故选A.2(2018山西名校联考)设函数f(x)lg(1x)，则函数ff(x)的定义域为()A(9，) B(9,1)C9，) D9,1)解析：选Bff(x)flg(1x)lg1lg(1x)，其定义域为的解集，解得9x1，所以ff(x)的定义域为(9,1)故选B.3(2018安阳三校联考)若函数f(x)的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是()A0,4) B(0,4)C4，) D0,4解析：选D由题意可得mx2mx10恒成立当m0时，10恒成立；当m0时，则解得0m4.综上可得，0m4.4(2019珠海质检)已知函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是()A(，1 B.C. D.解析：选C由题意知yln x(x1)的值域为0，)，故要使f(x)的值域为R，则必有y(12a)x3a为增函数，且12a3a0，所以12a0，且a1，解得1a.5(2018合肥质检)已知函数f(x)的值域是0，)，则实数m的取值范围是_解析：当m0时，函数f(x)的值域是0，)，显然成立；当m0时，(m3)24m0，解得0m1或m9.显然m0时不合题意综上可知，实数m的取值范围是0,19，)答案：0,19，)(二)技法专练活用快得分6排除法设xR，定义符号函数sgn x则()A|x|x|sgn x| B|x|xsgn|x|C|x|x|sgn x D|x|xsgn x解析：选D当x0时，|x|x，x|sgn x|x，xsgn|x|x，|x|sgn x(x)(1)x，排除A、B、C，故选D.7特殊值法函数y(a0，a1)的定义域和值域都是0,1，则logaloga()A1 B2C3 D4解析：选C当x1时，y0，则函数y在0,1上为减函数，故a1.当x0时，y1，则1，a2.log2log2log2log283.8数形结合法设函数f(x)则满足f(x)f(x1)1的x的取值范围是_解析：画出函数f(x)的大致图象如图，易知函数f(x)在(，)上单调递增又因为xx1，且x(x1)1，f(0)1，所以要使f(x)f(x1)1成立，则结合函数f(x)的图象知只需x11，解得x0.故所求x的取值范围是(0，)答案：(0，)(三)素养专练学会更学通9逻辑推理具有性质ff(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：f(x)x；f(x)x；f(x)其中满足“倒负”变换的函数是()A BC D解析：选A对于，fxf(x)，满足题意；对于，fxf(x)，不满足题意；对于，f即f故ff(x)，满足题意综上可知，满足“倒负”变换的函数是.故选A.10数学运算已知函数f(x)g(x)2x1，则f(g(2)_，f(g(x)的值域为_解析：g(2)2213，f(g(2)f(3)2.易得g(x)的值域为(1，)，若1g(x)0，f(g(x)g(x)211,0)；若g(x)0，f(g(x)g(x)1(1，)，f(g(x)的值域是1，)答案：21，)11数学抽象设函数f：RR，满足f(0)1，且对任意x，yR都有f(xy1)f(x)f(y)f(y)x2，则f(2 018)_.解析：令xy0，则f(1)f(0)f(0)f(0)02111022.令y0，则f(1)f(x)f(0)f(0)x2，将f(0)1，f(1)2代入，可得f(x)1x，所以f(2 018)2 019.答案：2 019
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