二次型的标准型与规范型.ppt

第二节 标准形的定义 正交线性替换法 配方法 二次型的标准形与规范形 初等变换法 二次型的规范形 一 标准形的定义 定义二次型f x1 x2 xn 经过非退化 线性替换x Cy所变成的如下形式 只含平方项 yTBy d1y12 d2y22 dryr2 r n 4 5 的二次型称为二次型f x1 x2 xn 的标准形 不难看出 二次型 4 5 的矩阵B为n阶对角 矩阵 即 B CTAC diag d1 d2 dr 0 0 二 用正交线性替换法 化二次型为标准形 任一 实 二次型一定可以通过正交线性替换化为标准形 例1用正交线性替换化下列二次型为标准形 并求出所作的正交线性替换 一般地 用正交线性替换将二次型f x1 x2 xn xTAx 其中AT A 化为标准形的步骤如下 Step1求出二次型矩阵A的全部特征值 1 2 n Step2求出正交矩阵P 使 PTAP diag 1 2 n Step3作正交线性替换X PY 其中 Y x1 x2 xn T Rn 则二次型f x1 x2 xn 化为标准形 1y12 2y22 nyn2 三 用配方法 化二次型为标准形 例2用配方法把三元二次型 化为标准形 并求所用的线性替换及变换矩阵 例3用配方法化二次型 为标准形 即任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同 四 用初等变换法 化二次型为标准形 对A施以一系列行初等变换 例4用初等变换法化二次型 为标准形 例5用初等变换法化二次型 为标准形 五 二次型的规范形 标准形唯一吗 标准形不唯一 如果二次型f x1 x2 xn xTAx 其中AT A 通过可逆线性替换可以化为 y12 yp2 y2p 1 yr2 p r n 则称上式为该二次型的规范形 规范形中 正项的个数p称为二次型的正惯性指标 负项个数r p称为二次型的负惯性指标 r是二次型的秩 p r p 2p r称为二次型的符号差 定理4 4任一二次型f x1 x2 xn 都可以通过可逆线性替换化为规范形 且规 范形是唯一的 推论1任一实对称矩阵A都与对角矩阵 合同 其中1和 1的个数共有r个 r为二次型的秩 推论2两个实对称矩阵合同的充分必要条件 是它们具有相同的正惯指数和秩