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3.4导数在实际生活中的应用学习目标：1.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法(重点)2.通过对实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高(难点)自 主 预 习探 新 知1导数的实际应用导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决2用导数解决实际生活问题的基本思路基础自测1判断正误：(1)应用导数可以解决所有实际问题中的最值问题()(2)应用导数解决实际应用问题，首先应建立函数模型，写出函数关系式()(3)应用导数解决实际问题需明确实际背景()【解析】(1).如果实际问题中所涉及的函数不可导、就不能应用导数求解(2).求解实际问题一般要建立函数模型，然后利用函数的性质解决实际问题(3).要根据实际问题的意义确定自变量的取值【答案】(1)(2)(3)2生产某种商品x单位的利润L(x)500x0.001x2，生产_单位这种商品时利润最大，最大利润是_【解析】L(x)10.002x，令L(x)0，得x500，当x500时，最大利润为750.【答案】500750合 作 探 究攻 重 难面积容积的最值问题有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上设CD2x，梯形的面积为S.(1)求面积S关于x的函数，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值. 【导学号：95902246】思路探究(1)建立适当的坐标系，按照椭圆方程和对称性求面积S关于x的函数式；(2)根据S的函数的等价函数求最大值【自主解答】(1)依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系如图所示，则点C的坐标为(x，y)点C在椭圆上，点C满足方程1(y0)，则y2(0 x r)，S(2x2r)22(xr)(0 x r)(2)记S4(xr)2(r2x2)(0xr)则S8(xr)2(r2x)令S0，解得xr或xr(舍去)当x变化时， S，S的变化情况如下表：xS0Sxr时，S取得最大值，即梯形面积S的最大值为.规律方法1求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，利用导数的方法来求解2选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，以利于解决问题跟踪训练1.在一个半径为1的半球材料中截取两个高度均为h的圆柱，其轴截面如图341所示设两个圆柱体积之和为Vf(h)图341(1)求f(h)的表达式，并写出h的取值范围(2)求两个圆柱体积之和V的最大值【解】(1)自下而上两个圆柱的底面半径分别为：r1，r2.它们的高均为h，所以体积之和Vf(h)rhrhh.因为02h1，所以h的取值范围是.(2)由f(h)(2h5h3)，得f(h)(215h2)，令f(h)0，因为h，得h.所以当h时，f(h)0；当h时，f(h)0.所以f(h)在上为增函数，在上为减函数，所以当h时，f(h)取得极大值也是最大值，f(h)的最大值为f.答：两个圆柱体积之和V的最大值为.用料最省、节能减耗问题如图342所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海岸的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？ 【导学号：95902247】 图342思路探究先列出自变量，通过三角知识列出水管费用的函数，然后求导，根据单调性求出最小值【自主解答】设C点距D点x km，则BD40 km，AC(50x)km，BC(km)又设总的水管费用为y元，依题意， 得y3a(50x) 5a(0x50)，则y3a，令y0，解得x30.当x0,30)时，y0，当x(30,50时，y0, 当x30时函数取得最小值，此时AC50x20(km)，即供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省规律方法1像本例节能减耗问题，背景新颖，信息较多，应准确把握信息，正确理清关系，才能恰当建立函数模型2实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f(x)0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)后，函数满足左减右增，此时惟一的极小值就是所求函数的最小值跟踪训练2某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长为_，宽为_【解析】如图所示，设场地一边长为x m，则另一边长为 m，因此新墙总长度L2x(x0)，L2.令L20，得x16或x16.x0，x16.L在(0，)上只有一个极值点，它必是最小值点x16，32.故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省【答案】16 m32 m利润最大问题探究问题1在有关利润最大问题中，经常涉及“成本、单价、销售量”等词语，你能解释它们的含义吗？【提示】成本是指企业进行生产经营所耗费的货币计量，一般包括固定成本(如建设厂房、购买机器等一次性投入)和可变成本(如生产过程中购买原料、燃料和工人工资等费用)，单价是指单位商品的价格，销售量是指所销售商品的数量2什么是销售额(销售收入)？什么是利润？【提示】销售额单价销售量，利润销售额成本3根据我们以前所掌握的解决实际应用问题的思路，你认为解决利润最大问题的基本思路是什么？【提示】在解决利润最大问题时，其基本思路如图所示某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：w4，且投入的肥料费用不超过5百元此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)(1)求利润函数L(x)的函数关系式，并写出定义域；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？思路探究(1)利润收入总成本其中，收入产量售价，总成本肥料费用其他成本；(2)利用求导、列表、定最值【自主解答】(1)当肥料费用为x百元时，收入为16百元，总成本为(x2x)百元所以L(x)16(x2x)643x(百元)，其中x0,5(2)L(x)3，x0,5令L(x)0，得x3.列表如下：x0(0,3)3(3,5)5L(x)0L(x)极大值由上表可知，L(x)maxL(3)43.答：当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4 300元规律方法解决最优化问题的一般步骤：(1)根据各个量之间的关系列出数学模型；(2)对函数求导，并求出导函数的零点，确定函数极值；(3)比较区间端点处函数值和极值之间的大小，得到最优解.跟踪训练3某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2t5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25x40)，根据市场调查，日销售量q与ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；(2)若t5，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的每日利润最大？并求最大值. 【导学号：95902248】【解】(1)设日销量q，则100，k100e30，日销量q，y(25x40)(2)当t5时，y，y.由y0，得25x26，由y0，得26x40，y在25,26)上单调递增，在(26,40上单调递减，当x26时，ymax100e4.故当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e4元构建体系当 堂 达 标固 双 基1一个圆锥形漏斗的母线长为20，高为h，则体积V的表达式为_【解析】设圆锥的高为h，则圆锥的底面半径为r，则V(400h2)h. 【答案】(400h2)h2某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y117x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产_千台. 【导学号：95902249】【解析】构造利润函数yy1y218x22x3(x0)，y36x6x2， 由y0是x6(x0舍去)，x6是函数y在(0，)上唯一的极大值点，也是最大值点即生产6千台时，利润最大【答案】63某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)x2(0x60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为_【解析】V(x)2xx2x260xx(x40)令V(x)0，得x40或x0(舍)不难确定x40时，V(x)有最大值即当底面边长为40时，箱子容积最大【答案】404做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_【解析】设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则VR2L27，L. 要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，S表R22RLR22， S表2R.令S0，解得R3.R(0,3)时，S表单调递减，R(3，)时，S表单调递增，当R3时，S表最小【答案】35某厂生产某种产品x件的总成本c(x)1200x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为多少件时，总利润最大？并求出最大总利润【解】由题意，可设p2，其中k为比例系数因为当x100时，p50，所以k250 000，所以p2，p，x0.设总利润为y万元，则yx1200x3500x31 200.求导数得，yx2.令y0得x25.故当x25时，y0；当x25时，y0. 因此当x25时，函数y取得极大值，也是最大值，即最大利润为万元【答案】25
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