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第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积1.(2018全国卷,理3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(A)解析:由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直观图可知其俯视图应选A.2.(2018全国卷,理7)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(B)(A)217(B)25(C)3(D)2解析:先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M,N的位置如图所示.圆柱的侧面展开图及M,N的位置(N为OP的四等分点)如图所示,连接MN,则图中MN即为M到N的最短路径.ON=1416=4,OM=2,所以|MN|=OM2+ON2=22+42=25.故选B.3.(2017全国卷,理7)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为(B)(A)10(B)12(C)14(D)16解析:如图为该几何体的直观图,易知该几何体中有两个全等的梯形,其中一个梯形的面积为S=12(2+4)2=6,故这些梯形面积之和为62=12.故选B.4.(2017全国卷,理8)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(B)(A)(B)34(C)2(D)4解析:球体与圆柱体的截面图如图,故S柱底=322=34,V柱=S柱底h=34.故选B.5.(2018全国卷,理10)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥DABC体积的最大值为(B)(A)123(B)183(C)243(D)543解析:由等边ABC的面积为93可得34AB2=93,所以AB=6,所以等边ABC的外接圆的半径为r=33AB=23.设球的半径为R,球心到等边ABC的外接圆圆心的距离为d,则d=R2-r2=16-12=2.所以三棱锥DABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥DABC体积的最大值为13936=183.故选B.6.(2018全国卷,理16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45,若SAB的面积为515,则该圆锥的侧面积为.解析:如图,因为SA与底面成45角,所以SAO为等腰直角三角形.设OA=r,则SO=r,SA=SB=2r.在SAB中,cosASB=78,所以sinASB=158,所以SSAB=12SASBsinASB=12(2r)2158=515,解得r=210,所以SA=2r=45,即母线长l=45,所以S圆锥侧=rl=21045=402.答案:4021.考查角度(1)几何体三视图的识别;(2)由三视图还原直观图求长度、面积、体积;(3)与球有关的“接”“切”问题.2.题型及难易度选择题、填空题,中低档.(对应学生用书第3234页) 空间几何体的三视图考向1几何体三视图的识别【例1】 (2018济南市模拟)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P为BD1的中点,则PAC在该正方体各个面上的正投影可能是()(A)(B)(C)(D)解析:由题可知平面PAC平面ABCD,且点P在各个面内的正投影均为正方形的中心.根据对称性,只需考虑PAC在底面、后面、右面的正投影即可.显然PAC在底面的正投影为正方形的对角线,在后面与右面的正投影相同,均为等腰直角三角形,故选B.考向2由几何体的三视图还原几何体【例2】 (2018太原市模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的各条棱中,最长棱的长度为()(A)6(B)5(C)2(D)1解析:由三视图可知,几何体的直观图如图(1)所示,平面AED平面BCDE,四棱锥ABCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形.如图(2),过点A作平面BCDE的垂线,垂足为点F,连接EF,FC,显然侧棱AC最长.CF=DC2+DF2=12+22=5,AC=AF2+CF2=(5)2+12=6.故最长棱的长度为6.故选A.(1)由几何体的直观图画三视图时应注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,看到的部分用实线表示,看不到的部分用虚线表示.(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图时,应先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然若是选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.(3)由几何体的三视图还原几何体的形状时,可先根据俯视图确定几何体的底面,再根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,最后确定几何体的直观图形状.热点训练1:(2018惠州市调研)如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1(底面ABCD是正方形,侧棱AA1底面ABCD)中,点P是正方形A1B1C1D1内一点,则三棱锥PBCD的正视图与俯视图的面积之和的最小值为()(A)32(B)1(C)2(D)54解析:由题易知,其正视图面积为1212=1.当顶点P在底面ABCD上的投影在BCD内部或其边上时,俯视图的面积最小,最小值为SBCD=1211=12,所以三棱锥PBCD的正视图与俯视图的面积之和的最小值为1+12=32.故选A.热点训练2:(2018北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()(A)1(B)2(C)3(D)4解析:在棱长为2的正方体中作出该几何体的直观图,记为四棱锥PABCD,如图,由图可知在此四棱锥的侧面中,直角三角形有PAD,PDC,PAB,共3个,故选C.空间几何体的表面积和体积考向1由空间几何体的结构特征计算表面积与体积【例3】 (2017全国卷)如图,在四棱锥PABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱锥PABCD的体积为83,求该四棱锥的侧面积.(1)证明:由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解:在平面PAD内作PEAD,垂足为E.由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,ABAD,可得PE平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=2x,PE=22x.故四棱锥PABCD的体积VPABCD=13ABADPE=13x3.由题设得13x3=83,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=22,PB=PC=22.可得四棱锥PABCD的侧面积为12PAPD+12PAAB+12PDDC+12BC2sin 60=6+23.考向2由三视图计算空间几何体的表面积与体积【例4】 (1)(2018延安模拟)如图,在边长为1的正方形组成的网格中,画出的是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是()(A)9(B)272(C)18(D)27(2)(2018遂宁模拟)在一圆柱中挖去一圆锥所得的机械部件的三视图如图所示,则此机械部件的表面积为()(A)(7+2)(B)(8+2)(C)227(D)(1+2)+6解析:(1)根据三视图可知几何体是一个三棱锥 ABCD,如图,则三棱锥底是直角边为6,3的直角三角形,三棱锥高为3,所以几何体的体积V=1312633=9.故选A.(2)该几何体是由一个圆柱挖去一个倒圆锥,圆锥的上底面与圆柱的上底面重合,所以此机械部件的表面积为12+213+12212=7+2.故选A.(1)据三视图求表面积、体积时,解题的关键是对所给三视图进行分析,得到几何体的直观图;(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,求组合体的表面积时要注意重合部分的面积;(3)求规则几何体的体积时,只需确定底面与相应的高,而求一些不规则几何体的体积时,往往需采用分割或补形思想,转化求解.热点训练3:某装饰品的三视图如图所示,则该装饰品的表面积为()(A)16+(B)16-(5-1)(C)16+(5-1)(D)20+(5-1)解析:由装饰品的三视图可知,该装饰品是由一个棱长为2的正方体,切去四个四分之一的圆锥所得的几何体,其中圆锥的底面半径为1,高为2,则该装饰品的表面积为22+22-41412+41222+41415=16+(5-1).故选C.球与几何体的切、接问题考向1外接球【例5】 (2018合肥市二次质检)已知四棱锥PABCD的侧棱长相等,且底面是边长为32的正方形,它的五个顶点都在直径为10的球面上,则四棱锥PABCD的体积为.解析:设底面ABCD的中心为O1,四棱锥PABCD的外接球的球心为O.易知O在四棱锥的高PO1(或延长线)上,连接AC,OA,由球的性质可知OO1A为直角三角形,易得O1A=12AC=2232=3,OA=5,所以OO1=4,所以PO1=4+5=9或PO1=5-4=1.当PO1=9时,四棱锥PABCD的体积为1332329=54,当PO1=1时,四棱锥PABCD的体积为1332321=6.综上,四棱锥PABCD的体积为6或54.答案:6或54考向2内切球【例6】 (2018长沙市、南昌市部分学校二次联考)已知一块直三棱柱形状的玉石,记为三棱柱ABCA1B1C1,其中AB=10 cm,AC=6 cm,BC=8 cm,AA1=4 cm,若将此玉石加工成一个球,则此球的最大体积为()(A)43 cm3(B)83 cm3(C)323 cm3(D)643 cm3解析:在ABC中,AB=10 cm,AC=6 cm,BC=8 cm,AB2=AC2+BC2,所以ABC为直角三角形,在RtABC中,设其内切圆的半径为r,则r=12(6+8-10)=2 cm,易知2r=AA1,所以当此玉石加工成的球是直三棱柱ABCA1B1C1的内切球,即球的半径R为底面直角三角形内切圆的半径,即R=2 cm时,该球的体积最大,最大体积为43R3=323 cm3.故选C.空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系.(2)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(3)补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体.热点训练4:(2018石家庄市质检)直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=3,AC=5,BC=7,AA1=2,则此球的表面积为.解析:在ABC中,由余弦定理,知cosCAB=52+32-72253=-12,所以sinCAB=32.设ABC外接圆的半径为r,则由正弦定理知,2r=BCsinCAB=732,所以r=733,设球的半径为R,则R=r2+(AA12)2=523,所以此球的表面积S=4R2=2083.答案:2083热点训练5:(2018河南一模)在三棱锥SABC中,SBBC,SAAC,SB=BC,SA=AC,AB=12SC,且三棱锥SABC的体积为932,则该三棱锥的外接球的半径为()(A)1(B)2(C)3(D)4解析:如图,取SC的中点O,连接OB,OA,因为SBBC,SAAC,SB=BC,SA=AC,所以OBSC,OASC,OB=12SC,OA=12SC,所以SC平面OAB,O为三棱锥的外接球的球心,SC为球O的直径,设球O的半径为R,则AB=12SC=R,所以AOB为正三角形,则BOA=60,所以VSABC=VSOAB+VCOAB=212R2sin 6013R=932.解得R=3.故选C. 【例1】 (2018湖南省湘东五校联考)已知正三棱锥PABC的正视图和俯视图如图所示,则此三棱锥外接球的表面积为()(A)163(B)643(C)1003(D)12解析:如图,作PGCB于点G,连接AG,设点P在底面ABC内的射影为D,连接PD,依题易得AB=23,PG=13,PA=4,AD=2,PD=23,PD平面ABC.易知,正三棱锥PABC外接球的球心在PD上,不妨设球心为O,半径为r,连接OA,则在RtAOD中,r2=22+(23-r)2r2=163,S=4r2=643.故选B.【例2】 (2018唐山市第一学期五校联考)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与8根铁丝都有接触点且皮球不变形,则皮球的半径为()(A)103 cm(B)10 cm(C)102 cm(D)30 cm解析:如图,过点S作SM平面ABCD,垂足为M,连接AM,由题意可知SM=102 cm,球心必在SM上,设球心为O,OM=d,过点O作OESA,垂足为E,则OE=R(R为球O的半径),因为SEOSMA,所以OEAM=SOSA,即R102=102-d20,所以d=102-2R,过点O作OFAB,垂足为F,连接MF,则R2=(102-2R)2+2022,解得R=10 cm或R=30 cm(舍去),故选B.
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