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课时跟踪检测（十四） 小题考法圆锥曲线的方程与性质A组107提速练一、选择题1(2018浙江高考)双曲线y21的焦点坐标是()A(，0)，(，0)B(2,0)，(2,0)C(0，)，(0，) D(0，2)，(0,2)解析：选B双曲线方程为y21，a23，b21，且双曲线的焦点在x轴上，c2，即得该双曲线的焦点坐标为(2,0)，(2,0)2双曲线C：1(a0，b0)的离心率e，则它的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：选A由双曲线C：1(a0，b0)的离心率e，可得，1，可得，故双曲线的渐近线方程为yx.3(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A. B.C. D.解析：选A以线段A1A2为直径的圆的方程为x2y2a2，由圆心到直线bxay2ab0的距离da，得a23b2，所以C的离心率e .4(2018温州适应性测试)已知双曲线1(a0，b0)的离心率e(1,2，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C因为双曲线1(a0，b0)的离心率e(1,2，所以12，所以14，又c2a2b2，所以00，b0)经过第一、三象限的渐近线的方程为yx，设其倾斜角为，则tan ，又，所以，故选C.5(2017全国卷)过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为()A. B2C2 D3解析：选C由题意，得F(1,0)，则直线FM的方程是y(x1)由得x或x3.由M在x轴的上方，得M(3,2)，由MNl，得|MN|MF|314.又NMF等于直线FM的倾斜角，即NMF60，因此MNF是边长为4的等边三角形，所以点M到直线NF的距离为42.6已知F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A法一：设P(x0，y0)，由题意知|x0|a，因为F1PF2为钝角，所以PF1PF20有解，即(cx0，y0)(cx0，y0)xy，即c2(xy)min，又yb2x，0xb2，又b2a2c2，所以e2，解得e，又0e1，故椭圆C的离心率的取值范围是.法二：椭圆上存在点P使F1PF2为钝角以原点O为圆心，以c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点bc.如图，由bc，得a2c2c2，即a2，又0e0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|BN|12，则a()A3 B4C5 D6解析：选A如图，设MN的中点为P.F1为MA的中点，F2为MB的中点，|AN|2|PF1|，|BN|2|PF2|，又|AN|BN|12，|PF1|PF2|62a，a3.故选A.9设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且CBA，若AB4，BC，则椭圆的两个焦点之间的距离为()A. B.C. D.解析：选A不妨设椭圆的标准方程为1(ab0)，如图，由题意知，2a4，a2，CBA，BC，点C的坐标为(1,1)，点C在椭圆上，1，b2，c2a2b24，c，则椭圆的两个焦点之间的距离为2c.10过双曲线1(a0，b0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|CD|，则双曲线离心率e的取值范围为()A. B.C. D.解析：选B将xc代入1得y，不妨取A，B，所以|AB|.将xc代入双曲线的渐近线方程yx，得y，不妨取C，D，所以|CD|.因为|AB|CD|，所以，即bc，则b2c2，即c2a2c2，即c2a2，所以e2，所以e，故选B.二、填空题11过抛物线yx2的焦点F作一条倾斜角为30的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|_.解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，题中的抛物线x24y的焦点坐标是F(0,1)，直线AB的方程为yx1，即x(y1)由消去x得3(y1)24y，即3y210y30，(10)24330，y1y2，则|AB|AF|BF|(y11)(y21)y1y22.答案：12(2018浙江高考猜题卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率e，若直线l：yk(x2 018)与双曲线C的右支有且仅有一个交点，则ab_；k的取值范围是_解析：因为双曲线的离心率e，所以，从而可得ab，即ab0，故双曲线的渐近线方程为xy0，其斜率为1，易知直线l必过定点(2 018,0)，且直线l：yk(x2 018)与双曲线C的右支有且仅有一个交点，所以由数形结合可知1k1，即k的取值范围是1,1答案：01,113已知椭圆C：y21的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0y1，则|PF1|PF2|的取值范围是_解析：由点P(x0，y0)满足0y1，可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a，b1，所以由椭圆的定义可知|PF1|PF2|0)上，F为抛物线的焦点，过A作该抛物线准线的垂线，垂足为E，则p_，EAF的角平分线所在的直线方程为_解析：把A(4,4)代入抛物线方程，得p2.由抛物线的性质得|AE|AF|，连接EF，则EAF为等腰三角形设EF的中点为B，则直线AB为EAF的角平分线所在的直线由F(1,0)，E(1,4)，得B(0,2)，则kAB，则直线AB的方程为yx2，故EAF的角平分线所在的直线方程为x2y40.答案：2x2y4015已知椭圆的方程为1，过椭圆中心的直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的右焦点，则ABF2的周长的最小值为_，ABF2的面积的最大值为_解析：设F1是椭圆的左焦点如图，连接AF1.由椭圆的对称性，结合椭圆的定义知|AF2|BF2|2a6，所以要使ABF2的周长最小，必有|AB|2b4，所以ABF2的周长的最小值为10.SABF2SAF1F22c|yA|yA|2，所以ABF2面积的最大值为2.答案：10216已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，ABC的顶点都在抛物线上，且满足0，则_.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，由，得，y1y2y30.因为kAB，kAC，kBC，所以0.答案：017如图，已知F1，F2分别是双曲线x21(b0)的左、右焦点，过点F1的直线与圆x2y21相切于点T，与双曲线的左、右两支分别交于A，B，若|F2B|AB|，则b的值是_解析：法一：因为|F2B|AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1|BF1|AB|BF1|BF2|2，连接OT，在RtOTF1中，|OT|1，|OF1|c，|TF1|b，所以cosF2F1A，sinF2F1A，所以A，将点A的坐标代入双曲线得1，化简得b64b55b44b340，得(b22b2)(b42b33b22b2)0，而b42b33b22b2b2(b1)2b21(b1)20，故b22b20，解得b1(负值舍去)，即b1.法二：因为|F2B|AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1|BF1|AB|BF1|BF2|2，连接AF2，则|AF2|2|AF1|4.连接OT，在RtOTF1中，|OT|1，|OF1|c，|TF1|b，所以cosF2F1A.在AF1F2中，由余弦定理得，cosF2F1A，所以c232b，又在双曲线中，c21b2，所以b22b20，解得b1(负值舍去)，即b1.答案：1B组能力小题保分练1双曲线1(a，b0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，F1PF2的角平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，|F2Q|2，则双曲线的方程为()Ay21 Bx21Cx21Dy21解析：选BF1PF2的角平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，|PF1|PQ|，P，F2，Q三点共线，而|PF1|PF2|2a，|PQ|PF2|2a，即|F2Q|22a，解得a1.又e，c，b2c2a22，双曲线的方程为x21.故选B.2(2018浙江高考原创卷)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点F1关于直线yc的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是()A.1B.C2 D.解析：选C左焦点F1关于直线yc的对称点为Q，|F1Q|2c.设椭圆的右焦点为F2，则|F1F2|2c.由椭圆定义知，|F2Q|2a|F1Q|2a2c.在RtF1QF2中，|F1F2|2|F1Q|2|F2Q|2，即(2c)2(2c)2(2a2c)2，c22aca20，故e22e10，e2(负值舍去)故选C.3.过椭圆C：1(ab0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若k，则椭圆C的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C由题图可知，|AF|ac，|BF|，于是k.又k，所以，化简可得1e，从而可得e，故选C.4已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为_解析：抛物线C：y24x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l1：yk(x1)，l2：y(x1)，由消去y，得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22，由抛物线的定义可知，|AB|x1x22224.同理得|DE|44k2，|AB|DE|444k2848816，当且仅当k2，即k1时取等号，故|AB|DE|的最小值为16.答案：165已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y(x1)与C交于A，B(A在x轴上方)两点若m，则m的值为_解析：由题意知F(1,0)，由解得由A在x轴上方，知A(3,2)，B，则(2，2)，因为m，所以m3.答案：36(2018浙江高考原创卷)已知双曲线x21(b0)的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为M.若点M的纵坐标为，则双曲线的离心率是_解析：点M的纵坐标为，点M在渐近线yx上双曲线方程为x21，a1，F(c,0)，渐近线方程为ybx.则|FM|，c2a2b21b2，|FM|b.OMF为直角三角形，OMa.OMFMOFyM，即cyMab，c2yb2.yM，b2c2.又c2a2b2，a2c2，e.答案：
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