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阶段质量检测（一） 常用逻辑用语(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题“若x21，则1x1”的逆否命题是()A若x21，则x1，或x1B若1x1，则x21，或x1D若x1，或x1，则x21解析：选D命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”2已知命题若ab，则，若2x0，则(x2)(x3)0，则下列说法正确的是()A的逆命题为真B的逆命题为真C的逆否命题为真D的逆否命题为真解析：选D的逆命题为b，若a2，b3，则不成立故A错；的逆命题为若(x2)(x3)0，则2x0是假命题，故B错；为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确3设集合Mx|x2，Px|x3，那么“xM，或xP”是“xMP”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A“xM，或xP”不能推出“xMP”，反之可以4设原命题：若ab2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A原命题真，逆命题假B原命题假，逆命题真C原命题与逆命题均为真命题D原命题与逆命题均为假命题解析：选A因为原命题“若ab2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为，“若a，b都小于1，则ab2”显然为真，所以原命题为真；原命题“若ab2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为：“若a，b中至少有一个不小于1，则ab2”，是假命题，反例为a1.2，b0.3，则ab1.5b，则ab”B命题“若“ab，则|a|b|”的逆命题C命题“当x2时，x25x60”的否命题D命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”解析：选D原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等”，是真命题，故选D.7“a0”是“方程ax210至少有一个负根”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选C方程ax210至少有一个负根等价于x2，故a30”是sin A的_条件，“sin A”是“A30”的_条件解析：A30不一定推出sin A，但在ABC中，sin A30A30.答案：必要不充分充分不必要11给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图象不过第四象限它的逆命题、否命题、逆否命题中是真命题的为_，假命题的为_解析：逆命题和否命题是假命题，逆否命题为真命题答案：逆否命题逆命题、否命题12有下列命题：“若xy0，则x0且y0”的否命题；“矩形的对角线相等”的否命题；“若m1，则mx22(m1)xm30的解集是R”的逆命题；“若a7是无理数，则a是无理数”的逆否命题其中真命题是_，假命题是_(填序号)解析：的逆命题为“若x0且y0，则xy0”为真，故否命题为真；的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；的逆命题为若“mx22(m1)xm30的解集为R，则m1”当m0时，解集不是R，应有 即m1.是假命题；原命题为真，逆否命题也为真答案：13已知、是不同的两个平面，直线a，直线b，命题p：a与b无公共点；命题q：，则p是q的_条件，q是p的_条件解析：qp，p/ q，p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件答案：必要不充分充分不必要14命题“ax22ax30不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_解析：ax22ax30恒成立，当a0时，30成立；当a0时，得3a0，3a0.答案：3,015若“x2,5或xx|x4”是假命题，则x的取值范围是_解析：由x2,5或xx|x4，得x1或x2.此命题是假命题，1x2.答案：1,2)三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假(1)能被6整除的数一定是偶数；(2)当|b2|0时，a1，b2；(3)已知x，y为正整数，当yx2时，y1，x1.解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题(2)若|b2|0，则a1且b2，真命题(3)已知x，y为正整数，若yx2，则y1且x1，假命题17(本小题满分15分)分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假(1)矩形的对角线相等且互相平分；(2)正偶数不是质数解：(1)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形(真命题)否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分(真命题)逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形(真命题)(2)逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数(假命题)否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数(假命题)逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数(假命题)18(本小题满分15分)已知命题：“所有xx|1x1，都有不等式x2xm0成立”是真命题(1)求实数m的取值集合B；(2)设不等式(x3a)(xa2)0的解集为A，若xA是xB的充分不必要条件，求实数a的取值范围解：(1)命题：“所有xx|1x1，都有不等式x2xm0成立”是真命题，得x2xm(x2x)max，得m2，即Bm|m2(2)不等式(x3a)(xa2)2a，即a1时，解集Ax|2ax3a，若xA是xB的充分不必要条件，则AB，2a2，此时a(1，)；当3a2a，即a1时，解集A，若xA是xB的充分不必要条件，则AB成立；当3a2a，即a1时，解集Ax|3ax2a，若xA是xB的充分不必要条件，则AB成立，3a2，此时a，1.综上可得a，.19(本小题满分15分)设a，b，c为ABC的三边，求证：方程x22axb20与x22cxb20有公共根的充要条件是A90.证明：充分性：因为A90，所以a2b2c2.于是方程x22axb20可化为x22axa2c20，所以x22ax(ac)(ac)0.所以x(ac)x(ac)0.所以该方程有两根x1(ac)，x2(ac)，同样另一方程x22cxb20也可化为x22cx(a2c2)0，即x(ca)x(ca)0，所以该方程有两根x3(ac)，x4(ca)可以发现，x1x3，所以方程有公共根必要性：设x是方程的公共根，则由，得x(ac)，x0(舍去)代入并整理，可得a2b2c2.所以A90.所以结论成立20(本小题满分15分)给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2(a1)xa20的解集为，命题乙：函数y(2a2a)x为增函数分别求出符合下列条件的实数a的范围(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题解：甲命题为真时，(a1)24a2或a1，即a1或a.(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，实数a的取值范围为aa.(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，a1，甲假乙真时，1a，甲、乙中有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围为aa1或1a.
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